动态建构 理性生成

顾宁燕

摘 要：“图形性质”是空间与图形部分的内容，《数学课程标准》（2011版）中指出，“空间与图形”内容以图形为载体，以培养空间观念、推理能力，以及更好地认识与把握我们生存的现实空间为目标，不仅着眼于学生理解和掌握一些必要的几何事实，而且强调学生经历自主探索和合作交流的过程，形成积极的学习态度和情感。本文以《三角形的三边关系》一课为例，谈谈实际的做法。

关键词：图形性质；三角形的三边关系；动态

“三角形任意两边长度的和大于第三边”是三角形边的重要性质。了解这一知识，不仅可以更好地理解和掌握三角形的特征，而且可以用它解决很多日常生活问题。此类性质如何让学生获得？学生了解性质的同时，会经历怎样的学习过程，积累怎样的学习经验，迸发怎样的学习智慧，收获怎样的数学课堂？笔者谨以《三角形的三边关系》一课为例，谈谈自己的想法。

一、动态游戏，师生共情，点化儿童对难点的领悟

课前，笔者设计了“任意伸手指”的小游戏：请学生任意伸出一根手指和任意伸出两根手指。

实录：

师：快要上课了，我们来玩个放松的小游戏好不好？

生：好！

师：请同学们任意伸出一根手指。

学生纷纷伸出手指。

师：这位同学伸的是食指，这位同学伸的是中指，还有的伸的是无名指或小指。你们猜，老师会伸哪根手指？

学生纷纷猜：大拇指！

师：猜对了，真的是大拇指！因为老师相信，这节课你们的表现会很棒！

师：请同学们任意伸出两根手指。

学生做出各种各样的造型。

师：为什么同一个指令，大家伸出的手指却不一样呢？

生1：因为大家的想法不同。

生2：因为你说了一个词，“任意”！

师追问：任意是什么意思？

生：就是随便哪两根手指都可以。

三角形边的性质中，最难理解的就是“任意”这个词。而这个性质的学习主体又是四年级儿童，年龄较小，抽象思维能力不强。一些教学实践表明，如果儿童对这个词不能很好地领悟，那么他们对这个性质就不能很好地理解和应用。设计这个游戏，一方面能活跃气氛，解除学生的紧张感，拉近教师与学生的心理距离；另一方面，又能让学生在游戏中动态理解和解释“任意”这个词。后续的学习多次表明，通过这个游戏，学生对“任意”这个词亲近并完全理解。

二、 动态建构，严谨推理，深化儿童对性质的理解

笔者给每组发三根小棒，小棒的长度有三种不同的情况，分别是3 cm、5 cm、6 cm；3 cm、5 cm、7 cm；3 cm、5 cm、10 cm。学生实践后发现，有的组围得成，有的组围不成。然后把问题进行集中起来，这些组为什么围不成？引导学生发现是小棒的长度有问题，红色的小棒太长了，又或者绿色和蓝色的小棒太短了。笔者尝试将此性质的认识上成微型数学实践课，选用反证法，让学生把不成功的案例一一排除，然后剩下可能成功的情况，再进行验证、反思和完善，得到准确的结论。

（一）两条线段长度的和小于第三条线段

师：请围成功的同学到前面来展示一下。没有围成功的同学也拿上来看一看。

师：为什么围不成？（电脑出示数据）谁能用一个式子说明为什么围不成吗？（3+5<10）上面两根小棒的长度加起来都没有第三根小棒长，怎么能围成一个三角形呢？你觉得要怎样才能围成一个三角形？

生：可以把红色小棒缩短或将绿色小棒延长，也可以将蓝色小棒延长。

师：嗯，这几种方法都不错，先把红色小棒缩短看看。猜一猜，红色的小棒缩短成几厘米就能围成三角形？为方便研究，请取整厘米数。

生：9 cm、8 cm、7 cm……

师：看看这些数据，你有什么意见？其中有没有围不成的？

生：9 cm，3+5<9，用字母表示就是a+b

师：看来，两条线段长度的和小于第三条线段，不能围成三角形。

（二）两条线段长度的和等于第三条线段

师：8 cm能不能和3 cm、5 cm围成三角形呢？请同学们伸出小手，想象着围一围。

师：请大屏幕演示一下刚才想象的场景（如图1）。这时a+b=c，能围成三角形吗？

师：看来，两条线段长度的和小于第三条线段或者等于第三条线段，肯定不能围成三角形。

（三）两条线段长度的和大于第三条线段

师：那你觉得在什么情况下，三条线段一定能围成三角形呢？小组合议，把发现记在学习单上。我们发现：只要 就一定能围成三角形。（两边之和大于第三边或a+b>c）

师：你们同意吗？看看咱们的发现好不好用！

师（指着板书）：3、5、7；3、5、6；3、5、5这三组数据都是a+b>c的情况，能围成三角形吗？

师：真的是这样的吗？谜底就藏在同学们刚才的操作中。（出示三角形和数据）

师：这三组数据为什么能围成功？

师：正好与你们的发现相吻合，难怪能围成三角形。如果用字母来表示——

生：都是a+b>c。

（四）任意两条线段长度的和大于第三条线段

师：这个式子可是一个法宝呀，有了这个法宝，咱行遍天下都不怕！就剩四组数据“3、5、4；3、5、3；3、5、2；3、5、1”，都是a+b>c的情况吗？那这四组数据肯定也能围成三角形吧？

生（疑惑）：“3、5、1”不能。

师：3+5可是大于1的，完全符合咱们刚才的发现啊，你们不是说a+b>c就能围成三角形吗？

请学生再次实验，寻找原因。

师：我很奇怪，前面你们都是拿a+b的和去和c比较，为什么现在又拿a+c的和去同b比较呢？

生：因为现在b是最长的边。

师：如果把b边再缩短成1 cm，变成3、1、1，能围成三角形吗？

师：看来，要想围成一个三角形，光有a+b>c还不够，有时还需要——

生：a+c>b。

师：有时还需要——

生：b+c>a。

师：咱们刚才的发现有需要完善的地方吗？

生（齐声）：有！

师：数学学习就是这样不断深入和完善的过程，请同学们修改刚才的发现。

指名汇报。

《数学课程标准》提倡让学生经历“数学化”和“再创造”的过程。这样一个建构性课堂，还原了知识产生的过程，学生思维充满活力和张力。从“两根小棒的长度和大于第三根小棒，就能围成三角形”到“任意（较短）两根小棒的长度和大于第三根小棒，才能围成三角形”，学生经历了数学性质的完善与提升，体会了数学思维的严密性。他们在观察中进行猜想，在操作中寻求答案，在思维困顿处想象思考，在操作交流中总结提升。课堂成了学生的生命活力场和思维契合场。

三、动态展现，拓展视野，优化儿童对性质的兴趣

笔者把这节课的课题“三角形的三边关系”改成“三角形边的秘密”，学生上课时自然而然地提出：三角形的角有没有秘密？三角形的高呢？数学学习，应当有这样的延续性和启发性。

为了更好地激发儿童对图形性质的兴趣，课前我设计了预学单，让每位儿童画一个三角形并作出它的三条高。上课时，我展示了几位儿童的作品，有几幅作品中三角形的三条高都相交于一点，“是否所有三角形的高都相交于一点呢？”

学生纷纷猜：不是的。

教师出示几何画板所作的三角形（如图2）：为了让大家看得更清楚，老师将三角形的高延长成直线，这些直线叫作三角形的垂线。先出示两条垂线，相交于一点。接着出示第三条，与前两条垂线又相交于同一点（如图3）。接着教师拉动三角形的一个端点，使学生直观地看到，三角形的大小和形状变了，但三条垂线却始终相交于同一点。接着教师又选中三条垂线的交点，点出“显示”命令中的“生成交点的动画”，整个三角形的三个顶点都运动起来，三角形的形状和大小随意变化，而三条垂线却始终相交于一点，不管这个点在三角形内还是在三角形外。

动态的展示引发了学生一阵阵的惊叹，他们在直观中孕育理性，在变幻中赞叹数学的神奇，这一拓展环节虽然只有短短两分钟，却激起了儿童无穷的探究欲望和强烈的学习兴趣。

荷兰数学家范希尔夫妇提出了几何思维水平的五个层次——层次0：视觉（visuality）；层次1：分析（analysis）；层次2：非形式化演绎（informal deduction）；层次3：形式的演绎（formal deduction）；层次4：严密性（rigior）。数学教师有责任站在提升儿童的几何思维水平的高度，在图形性质的教学中，从直观视觉感受到描述分析阶段，向抽象关联——形式的演绎、严密性水平慢慢过渡。图形性质的教学，难度较大，数学教师不妨采用动态展示的方法吸引儿童的注意力，建构学习经验，培养学习兴趣，拓展学习视野。