基于两种热源理论的岩土体热响应试验对比

张建忙，骆祖江

（河海大学地球科学与工程学院，南京 211100）

基于两种热源理论的岩土体热响应试验对比

张建忙，骆祖江

（河海大学地球科学与工程学院，南京 211100）

为了准确获得地下岩土体热物性参数，基于两种热源模型理论，详细分析了岩土体热物性现场热响应测试的模型理论及数据处理方法。以丹阳市滨江新城三口100 m深单U型垂直埋管试验孔恒热流散热试验为例，采集现场测试数据得到埋管供回水温度响应曲线，采用两种方法对试验数据进行分析处理。通过与实测温度值进行对比，发现相对于圆柱面热源，线热源理论的拟合情况更优，所计算出的各个参数更接近实际。线热源理论可广泛应用于岩土体热物性测试数据的处理分析。

热响应测试；实心圆柱面热源；线热源；岩土热物性；对比分析

0 引言

浅层地温能是一种绿色、环保的新型能源，随着能源危机的加剧，浅层地温能的开发利用越来越受到重视。地埋管式地源热泵能够利用土壤源进行热储藏与交换，在浅层地温能开发中受到广泛应用。岩土体热物性参数是浅层地温能开发中必须用到的基本数据，它对于地埋管换热器的设计有着重要意义。热物性参数的大小、准确与否对于地埋管钻孔的设计深度和数量以及热交换系统的负荷起着重要影响，从而会影响到投资成本。因此如何确定这些热物性参数成为重中之重。现在比较流行的测试方法有：稳态测试法、岩土类型判别法、探针法等[1]。受不同工况条件下地质环境的影响，岩土的种类复杂多样，细微结构的差异以及客观赋存环境对热物性均有影响，因此上述方法不能有效精准确定岩土体热物性参数。现场测试法是在实际工况环境下直接进行测量的，避免了岩土体样品的扰动，克服了土壤样品与地下原始结构差异大的问题，能够准确得到地下岩土的热物性参数。

根据文献分析发现目前约有30种现场岩土热响应试验数据分析的理论模型。一般来说，解析解最为常见的是线热源模型和柱热源模型[2]。柱热源和线热源的计算结果在加热时间较短时有显著差别；随着加热时间的延长，两模型的计算结果相对误差逐渐减小，且时间越久差别越小[3]。

本文阐述了基于两种热源模型的基本理论及数据处理方法，并以丹阳地区三口100 m深单U型垂直埋管试验孔测试为例，计算得到了设计所需要的岩土体热物性参数，通过进行对比分析以及反算研究，发现线热源模型所得到的参数更加接近实际。利用线热源模型可为土壤热物性的确定提供参考，值得在工程中推广应用。

1 基于实心圆柱面热源理论的地埋管换热模型分析

实心圆柱面热源模型是将地埋管与大地之间的热传导概化为以钻孔半径为内径，以无限远大地介质为外径的实心圆柱体，而地埋管与大地之间的热传导是通过以钻孔半径为内径的圆柱面进行的。为了便于分析计算，假设大地为无限大均匀且具有均匀初始温度T0的岩土体介质，地表与周围环境间没有热交换。钻孔是充满均匀介质的无限长实心圆柱，热量施加在圆柱面上，忽略钻孔深度方向的导热，认为埋管换热器与周围岩土只沿径向进行一维传热[4]。按照上述假设，可以创建钻孔内地埋管与四周岩土换热的数学模型：

式中过余温度θ=Tb-T0，Tb为t时刻距钻孔中心半径r处的温度，℃；t为时间，s；r0为钻孔半径，m；q1为单位钻孔长度加热功率，W·m-1；α为岩土的热扩散系数，m2·s-1；ρ为岩土的密度，kg·m-3；c为岩土的比热容，J·kg-1·K-1；δ(r-r0)为 Dirac-δ函数，

推导以上方程可以得到无限长实心圆柱面热源传热模型的解，该面热源的温度响应为：

式中k为岩土的导热系数，W·m-1·K-1；Ei() x是指数积分函数，其余物理量意义与前面一样。同时假定钻孔内热阻沿深度方向保持恒定[4]，由

可得到埋管内循环介质平均温度随与时间的关系式：

式中R为单位长度钻孔内的总热阻，m·K·W-1；Tf为埋管内流体介质平均温度，℃。

2 基于线热源理论的地埋管换热模型分析

线热源理论换热模型是一种简化模型，它是将钻孔内的U型埋管简化为一根无限长的当量直径圆管，忽略沿钻孔轴向的导热，将平面内的二维导热问题简化为一维径向的导热问题[5]。

四周岩土体与地埋管换热器之间的传热包括两个部分，即：孔内和孔外过程。受钻孔的几何尺寸以及填埋材料热容量影响，孔内温度很快会达到一个相对平稳阶段，可以将孔内的换热过程看作稳态传热。该简化模型的基本原理包括：

2.1 钻孔内传热过程分析

现场热响应试验通常是以单U型埋管试验测定的，假定钻孔内U型埋管两端单位长度的热流密度分别为q1和q2，根据线性叠加原理有：

式中：Tf1，Tf2分别为两根埋管内流体温度，℃；Tb为钻孔壁温度，℃；，R1、R2分别视为两根埋管单独存在时与钻孔壁之间的热阻，m·K·W-1；R12为两根埋管之间的热阻，m·K·W-1。

设想两根埋管在钻孔内部呈对称均匀分布，其中心距为D，则

埋管管壁的导热热阻Rp和管壁与循环介质对流换热热阻Rf分别为

式中：di为埋管内径，m；do为埋管外径，m；db为钻孔直径，m；D为U型管中心距，m；λp为埋管管壁导热系数，W/(m·℃)；λb为钻孔回填材料导热系数，W/ (m·℃)；λs为埋管周边岩土体导热系数，W/(m·℃)；h为循环介质与U型管内壁的对流传热系数，W/ (m2·℃)。

依照相关规范的基本要求，当管内循环介质为旺盛流时，热响应测试管内流速不应该低于0.2 m/s[6]，其Ref=104～12×104，可采用迪图斯-贝尔特公式[7]计算对流传热系数：

加热管内循环介质时：

冷却管内循环介质时：

式中：Nuf为平均温度下循环介质的努赛尔数；Ref为平均温度下循环介质的雷诺数；Prf为平均温度下循环介质流体的普朗特数。

计算出努赛尔数后，对流换热表面传热系数可依据下式计算出：

式中：λf为平均温度下循环介质的导热系数，W/ (m·℃)；

假定单位深度埋管长度放出的热流量为ql，依据假定有q1=q2=ql/2，Tf1=Tf2=Tf，那么式（2）可表示为：

由式（5）～式（9）可推得钻孔内传热热阻Rb：

2.2 钻孔外传热过程分析

将钻孔内热流视为恒定热源，忽略深度方向上的热传递，则地埋管与周围土壤间的换热可看作为一维圆柱轴对称问题[8]，其数学描述可表示为：

式中：cs为埋管周围岩土的平均比热容，J/(kg·℃)；T为孔周围岩土温度，℃；Tff为无限远处土壤温度，℃；ρs为周围岩土的平均密度，kg/m3；t为时间，s。

钻孔周围土壤温度解析式可表示为：

式中：T（r，t）和Tff分别为t时刻半径r处的土壤温度和无限远处土壤温度，℃；α为土壤的热扩散系数，m2/s；Ei（x）是指数积分函数，且

换热孔外热传导可表示为：

式中：Rs为换热孔外岩土体的传热热阻（m·/W）

在计算温度时，令r=rb，根据式（15）便可推出孔壁温度，假定埋管内流体与钻孔壁间单位深度钻孔总热阻为Rb，则由埋管内循环介质与钻孔壁间的传热关系可推导出埋管内循环介质平均温度与时间的关系式：

3 现场测试及结果

3.1 研究区概况

丹阳市滨江新城地区松散沉积物厚度一般为40～120 m，局部地区大于150 m，受基岩中凿井埋设换热器经济成本制约，目前苏南地区浅层地热能开发利用也大多局限在松散沉积物中和易钻进的基岩中，利用深度为50～120 m，故本次热响应测试深度为100～120 m，共安装埋管单U、PE32六组，分别进行测试，各试验孔位置见图1，试验时间为2015年1月5日9时至2015年2月11日17时。

3.2 试验概况

浅层地温能的开发利用分为冬夏两种工况，现场试验必须能够模拟两种工况下的场地情况。本次通过地下垂直单U型地埋管换热器进行恒热流散热试验来模拟夏令时工况。试验装置如图2所示，换热孔埋管的基本数据如表1所示。

地层平均初始温度是地源热泵设计时必须的基本参数，所以试验开始时先进行无功循环，待埋管进出水温度一致并持续12 h后，启动加热器。根据相关规范要求，需要进行大小两个功率的加热过程[9]。本次试验测试保持4.5 kW加热功率恒定，同时采集进出口水温、流体流量、恒热功率等数据。图3～图5分别为三个换热孔进出口水温变化图。

由图3～图5可以看出，埋管与周边岩土体的温差在大约30 h时基本稳定，达到恒热流试验要求。在刚开始加热时，管内循环介质温度较低，热量传递较少，与四周岩土之间的温差较小。保持恒定的加热功率，随着时间延长，循环介质的温度上升加快，换热持续进行，温差增大且趋于稳定。各个换热孔热响应试验参数采集如表2所示。

3.3 热物性参数计算

依照模型计算可以获得埋管内流体平均温度的理论值，将此理论值与现场采集到的试验值进行对比，根据参数估计法不断调整传热模型中周围岩土热导系数k，单位深度钻孔内总热阻R以及密度与比热容的乘积ρscs，使理论值与试验值的方差和f取得极小值，此时对应的调整后的值即为所要求的岩土平均热物性参数[10]。

图1 热响应试验孔布置Figure 1 Thermal response test borehole layout

图2 测试装置Figure 2 Testing installation

图3 DYG081换热孔内循环介质进出口温度变化Figure 3 DYG081 heat transfer borehole medium circulation exit and entrance temperature change

图4 DYG084换热孔内循环介质进出口温度变化Figure 4 DYG084 heat transfer borehole medium circulation exit and entrance temperature change

表1 换热孔埋管的基本数据Table 1 Basic data of heat transfer borehole pipe laying

式中Tc，i为第i时刻由传热模型计算得出的埋管中流体的平均温度，℃；Te，i为第i时刻实际采集到的埋管中流体平均温度，℃；n为试验测量数据的组数。

3.3.1 实心圆柱面热源理论计算

当方差和f取得极小值时，通过实心圆柱面热源模型计算出三个换热孔处的岩土体热物性参数分别为：

DYG081号换热孔：k为2.24 W·m-1·K-1；R为0.127(m·℃)/W；α为0.65×10-6m2/s；容积比热容 ρscs为3.42×106J/(m3·K)。

DYG084号换热孔：k为1.89 W·m-1·K-1；R为0.135(m·℃)/W；α为0.54×10-6m2/s；容积比热容 ρscs为3.51×106J/(m3·K)。

DYK019号换热孔：k为1.43 W·m-1·K-1；R为0.138(m·℃)/W；α为0.41×10-6m2/s；容积比热容 ρscs为3.49×106J/(m3·K)。

图5 DYK019换热孔内循环介质进出口温度变化Figure 5 DYK019 heat transfer borehole medium circulation exit and entrance temperature change

表2 热响应试验采集参数Table 2 Thermal response test acquisition parameters

3.3.2 线热源理论计算

当方差和f取得极小值时，根据线热源模型得到三个换热孔处的岩土体热物性参数分别为：

DYG081号换热孔：λS为2.35 W·m-1·K-1；Rb为0.14(m·℃)/W；α为0.36×10-6m2/s；容积比热容ρscs为5.41×106J/(m3·K)。

DYG084号换热孔：λS为2.13 W·m-1·K-1；Rb为0.14(m·℃)/W；α为0.69×10-6m2/s；容积比热容ρscs为3.61×106J/(m3·K)。

DYK019号换热孔：λS为1.54 W·m-1·K-1；Rb为0.14(m·℃)/W；α为0.48×10-6m2/s；容积比热容ρscs为3.05×106J/(m3·K)。

3.3.3 验证计算

为了验证参数计算的正确性，采用数学方法对线热源模型进行简化，具体如下：

式中：γ为欧拉常数，γ=0.577 216。

则式（11）可以简化为：

进行恒热流试验时，ql为常数，对数时间的线性方程：

将循环介质平均温度描绘成随时间的自然对数变化的曲线，则导热系数的表达式为：

岩土体导热系数λS是考虑地下换热器埋深范围内的其他特性因素的平均综合系数[11]。依照线热

钻孔外岩土体的热扩散系数由下式确定：源理论，保持散热功率恒定时，埋管内循环介质的平均温度上升和时间的对数成线性关系[12]，三个换热孔的热响应测试数据曲线与时间对数拟合关系，分别如图6～图8所示。

图6 DYG081换热孔内循环介质平均温度与时间对数拟合曲线Figure 6 Average temperature and logarithmic time fitting curve of DYG081 heat transfer borehole medium circulation

图7 DYG084换热孔内循环介质平均温度与时间对数拟合曲线Figure 7 Average temperature and logarithmic time fitting curve of DYG084 heat transfer borehole medium circulation

根据式（25）结合拟合曲线斜率得出岩λS为2.31 W·m-1·K-1；Rb为0.143 2(m·℃)/W；由截距计算出α为0.3×10-6m2/s；容积比热容 ρscs为5.25×106J/ (m3·K)。

同理得出λS为2.07 W·m-1·K-1；Rb为0.1432 (m·℃)/W；根据截距计算出α为0.61×10-6m2/s；容积比热容ρscs为3.57×106J/(m3·K)。

同理得出 λS为1.5 W·m-1·K-1；Rb为0.1435 (m·℃)/W；通过截距计算出α为0.51×10-6m2/s；容积比热容ρscs为2.93×106J/(m3·K)。

图8 DYK019换热孔内循环介质平均温度与时间对数拟合曲线Figure 8 Average temperature and logarithmic time fitting curve of DYK019 heat transfer borehole medium circulation

4 对比分析

为了确定热物性参数计算的准确性，对线热源模型用两种方法进行计算，发现结果较为吻合，可认为计算准确性较高。通过对比参数估计法计算出来的两种模型数据，发现实心圆柱面模型的数据比线热源模型略小，彼此相差不是很大。图9、图10、图11分别为三个钻孔实测与理论反算管内平均流体温度随时间变化曲线。可以看出，采用线热源模型反算得到的管内流体平均温度比采用实心圆柱面热源模型更加与实测值接近。

图9 DYG081管内实测与理论计算温度随时间变化曲线Figure 9 Measured and theoretical computed temperature-time curve in DYG018 borehole pipes

线热源模型将垂直埋在地下的管子看作一个均匀恒定的线热源，忽略了钻孔和埋管在径向的几何尺度[13]，是一种对实际情况的近似。实心圆柱面热源模型忽略了钻孔内回填材料及埋管等的热容量，把导热区域看作是一个实心圆柱形无限大介质[14]，管内均质流体的加热热流瞬时施加到孔壁上。实心圆柱面热源可以看作是无数线热源沿圆周方向排列组成的集合，每个线热源的散热率为，某点处的过余温度为所有线热源在该点产生的过余温度的叠加。两者都是理想的概化模型，都不考虑地表与环境之间的热交换，忽略了轴向的热传递，不计入地下水渗流对于热物性的影响，将平面二维问题简化为一维径向传热，钻孔外部传热过程相似，都采用参数估计法进行参数求解。当钻孔内填充物热物性参数与循环介质相差不大时，二者处理计算的结果差不多；当差别较大时，线热源计算更为准确。在长江三角洲等第四纪堆积物覆盖较深的地区，基岩埋深一般较大，在埋管深度范围内，埋管周围的沉积物岩体可以看做均匀的，二者计算处理时相差不大；但是在基岩埋深较浅的地方，岩性的差异会引起较大的差别。

图10 DYG084管内实测与理论计算温度随时间变化曲线Figure 10 Measured and theoretical computed temperature-time curve in DYG084 borehole pipes

图11 DYK019管内实测与理论计算温度随时间变化曲线Figure 11 Measured and theoretical computed temperature-time curve in DYK019 borehole pipes

在进行数据分析时，线热源的数学处理方法可以有效合理利用数据，规避存在较大误差数据，求解精度较高。在计算时，二者都用到了指数积分函数，实心圆柱面模型在线热源模型的基础上多进行了一次积分，加大了计算的工作量。利用两种模型计算所得参数均可用于实际的工程设计，但线热源可以通过数学方法进行化简，计算处理起来更方便，值得推广应用。

5 结论

作为地源热泵设计所需要的重要参数，地下岩土热物性的求解确定是相当关键的。本文讨论了两种热源模型的理论方法，并分别给出了实测数据的处理方法，通过对比分析得到以下结论：

（1）现场热响应试验分别使用实心圆柱面热源模型与线热源模型测试方法，两种模型所采用的外部传热过程类似，直接计算方法相同，计算量前者大于后者。

（2）在进行数据分析时，线热源的数学处理方法可以有效合理利用数据，规避较大误差数据，求解精度较高。

（3）通过比较反算理论与实测温度，可以看出利用线热源反算的温度与实测值吻合得较好，比较接近实际，线热源理论所得热物性参数更加准确。

（4）线热源理论因其可进行数学简化而便捷快速，可广泛应用于岩土体热物性测试数据的处理分析。

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Rock and Soil Masses Thermal Response Test Comparison Based on Two Heat Source Theories

Zhang Jianmang,Luo Zujiang
(School of Earth Science and Engineering,Hohai University,Nanjing,Jiangsu 210098)

To obtain underground rock and soil masses thermal physical property parameters exactly,based on two heat source theories, analyzed rock and soil masses physical property site thermal response test model theory and data processing method in detail.Taking the constant heat flux heat dissipation test in three 100 m deep single U typed vertical pipe laying testing boreholes in the riverside new district,Danyang City as example,collected site tested data and worked out pipe laying water supply and return temperature curves, through two methods carried out analytic processing for tested data.Through comparison with measured temperatures has found that relative to the cylindrical surface heat source,the fitting condition of line heat source is even better,various parameters computed more closed to actual.The line heat source theory can be widely used in rock and soil masses thermal property tested data processing and analysis.

thermal response test;solid cylindrical surface heat source;line heat source;rock and soil thermal physical property;comparative analysis

P314.2

A

10.3969/j.issn.1674-1803.2017.01.08

1674-1803(2017)01-0035-07

中国地质调查局江苏省合作项（12120114023101）

张建忙（1991—），男，陕西富平人，硕士研究生，主要研究方向为水文地质。

骆祖江（1964—），男，江苏吴江人，博士，教授，博士生导师，主要从事水文地质等方面研究与教学工作。

2016-07-29

责任编辑：樊小舟