叠层梁层间接触压力及弯曲变形分析

吴晓, 刘奇元



叠层梁层间接触压力及弯曲变形分析

吴晓, 刘奇元

(湖南文理学院机械工程学院, 湖南常德, 415000)

有关文献研究叠层梁弯曲变形时指出, 在不考虑剪切变形影响的条件下, 采用共同曲率假设求出的叠层梁层间接触压力, 仅存在于外载荷作用处的梁段, 且只有考虑剪切变形的影响时才能改变。基于上述情形, 采用材料力学方法研究了叠层梁层间接触压力及弯曲变形问题, 推导出了层间接触压力公式及挠曲线表达式。结果表明: 叠层梁弯曲变形是非线性问题, 仅有共同的曲率中心, 不存在共同曲率; 由于叠层梁有共同的曲率中心, 若不考虑剪切变形影响, 则在外力作用下, 叠层梁变形时所有梁段层间都存在接触压力。

叠层梁; 接触压力; 弯曲; 曲率中心; 挠曲线

罗建辉等[1]考虑剪切变形影响研究了叠层梁层间接触问题, 在“共同曲率”假设下, 推导出了叠层梁层间接触力公式。罗开彬[2]中指出: “对于叠层梁层间接触压力, 按通常材料力学方法难以进行正确分析, 原因是叠层梁在集中载荷作用下, 除了载荷作用点下方存在集中压力外, 其余接触梁段上就不应该存在压力, 这是忽略剪力影响必然结果; 若考虑剪切变形, 情况将有所不同”。因此, 文献[2]在考虑剪切变形基础上, 采用能量法研究了叠层梁层间接触压力问题。陈杰[3]假设压缩变形与接触压力成正比, 研究了叠层梁层间接触压力问题。文献[1–3]都认为研究叠层梁层间接触压力问题, 必须考虑剪切变形的影响, 文献[4]也持相同观点。材料力学教材[5]已出现关于叠层梁的弯曲应力计算, 文献[6]已经把叠层梁作为材料力学综合性研究型实验。众所周知, 当梁的长高比/> 10时, 可以忽略剪切变形对梁弯曲变形的影响。那么, 当叠层梁长高比/< 10时, 是否可以忽略剪切变形对梁弯曲变形的影响呢？笔者认为对于叠层梁层间接触压力, 按通常材料力学方法可以进行正确分析, 但不能采用“共同曲率”假设。因为, 叠层梁弯曲变形时, 仅有共同的曲率中心, 不存在共同曲率。由于叠层梁有共同的曲率中心, 若不考虑剪切变形影响, 则在外力作用下变形时, 叠层梁所有梁段层间也都存在接触压力。因此, 笔者认为有必要对叠层梁的层间压力及弯曲变形问题进行深入研究, 以便为叠层梁的工程设计提供理论参考依据。

1 叠层梁截面弯矩表达式

若按文献[1–4]都采用“共同曲率”的假设研究叠层梁的层间接触压力, 则按通常材料力学方法分析即可得到除外载荷作用点外其余接触梁段不存在集中压力的结论。众所周知, 图1所示叠层梁在外载荷作用下弯曲变形, 上下层梁只有共同的曲率中心, 而无共同曲率。

图1 叠层梁示意图

假设图1所示叠层梁截面弯矩()是外载荷作用在梁上产生的, 那么应有下式成立。

式(1)中:1()为上层梁截面弯矩;2()为下层梁截面弯矩。

由于叠层梁在外载荷作用下弯曲变形时, 仅有共同的曲率中心而无共同的曲率, 因此下式成立。

利用式(1)、式(4)可以求得上下层梁截面弯矩分别为:

由式(5)可以看出1()与2()不成比例关系, 而文献[1–3]按“共同曲率”假设求出的1()与2()成比例关系。

2 挠曲线及层间接触压力

以图2所示集中载荷作用下简支叠层梁为例, 研究叠层梁层间接触压力。由材料力学可知叠层梁上下层梁在分布载荷作用下的弯曲微分方程分别为:

式(6)中:1()和2()分别为上下层梁弯曲挠度;()为叠层梁层间接触压力。如果上下层梁的弯曲挠度曲线表达式确定, 那么由式(6)即可求得叠层梁的层间接触压力。

图2 简支叠层梁

由材料力学知识可知, 叠层梁下层梁在弯矩2()作用下的弯曲微分方程为

由于集中载荷作用在梁中点处, 因此仅研究梁左半部分。由图2可知叠层梁截面弯矩为

把式(8)代入式(7), 积分1次可得转角方程为

对式(9)积分1次可得挠曲线表达式为

式(10)中,1、2均为常数, 可由边界条件确定。

把式(10)代入式(6)第2分式可得层间接触压力为

式(11)仅为图2所示简支梁在0 ≤≤/2时梁段的层间接触压力。

对于图3所示均布载荷作用下的叠层梁, 由材料力学可知叠层梁上下层梁在分布载荷作用下的弯曲微分方程分别为:

由于图3的叠层梁挠曲线表达式非常复杂繁琐, 在此仅给出层间接触压力表达式。由图3可知叠层梁截面弯矩为

图3 均布载荷作用悬臂梁

叠层梁下层梁在弯矩2()作用下的弯曲微分方程为

将式(14)对求二次导数后, 代入式(12)第2分式可得层间接触压力为

3 讨论

下面主要讨论叠层梁层间接触压力。叠层梁的计算参数:= 24 mm,1=2= 24 mm,= 410 mm,1=2= 210 GPa。叠层梁层间弯矩及接触压力的计算结果如表1及图4、图5所示。

由表1可知, 尽管图2所示叠层梁上下层梁同材、等宽、等高, 在集中载荷= 2 005 kN作用下, 叠层梁上下层梁截面弯矩并不相等, 且相差较大。采用“共同曲率”假设会导致图2所示叠层梁上下层梁同材、等宽、等高时, 叠层梁上下层梁截面弯矩相等。而叠层梁弯曲变形时, 仅有共同的曲率中心, 不存在共同曲率。

表1 本文计算各截面弯矩 /(Nm) x/mm上梁下梁弯矩和 35134182316 90460352812 110701292993 1258522761 128 1451 0452641 309 1551 1392601 399 1751 3262531 579 1951 5112491 760 2051 6032471 850

图4为图2所示集中载荷作用下简支叠层梁在0 ≤

图5为图3所示均布载荷作用下悬臂叠层梁的层间接触压力变化曲线。由图5可以看出, 本文方法计算的均布载荷作用下悬臂叠层梁的层间接触压力曲线变化趋势与文献[2]中图8的层间接触压力曲线变化趋势是一致的, 叠层梁上下层梁之间处于完全接触状态。

图4 简支梁层间接触压力(P = 2 005 kN)

图5 均布载荷时悬臂梁的层间接触压力(q = 48 kN/m)

本文令图2、图3所示叠层梁上下层梁同材、等宽、等高时, 得到的图4、图5叠层梁的层间接触压力变化曲线, 与文献[2]考虑剪切变形时得到的图8、图10的层间接触压力曲线变化趋势是一致的。而文献[2]考虑剪切变形时得到的层间接触压力曲线的变化趋势却与文献[2]的相差甚远。

由以上分析可知, 有关文献认为考虑剪切变形是理解叠层梁层间接触梁段上不存在层间接触压力的关键, 此观点不准确。但是, 考虑剪切变形时, 可以提高计算精度。由于叠层梁弯曲变形时, 仅有共同的曲率中心, 不存在共同曲率。因此, 研究叠层梁的层间接触压力及弯曲变形时, 利用其共同的曲率中心, 按通常材料力学方法可以进行正确分析。

4 结论

(1) 尽管叠层梁上下层梁同材、等宽、等高, 但在集中载荷作用下, 叠层梁上下层梁截面弯矩也并不相等且相差较大。

(2) 有关文献认为考虑剪切变形是理解叠层梁层间接触梁段上不存在层间接触压力的关键, 此观点不准确。即使叠层梁上下层梁同材、等宽、等高, 研究叠层梁的层间接触压力及弯曲变形时, 利用其共同的曲率中心, 用材料力学方法是完全可以进行正确分析的。

(3) 研究叠层梁的层间接触压力及弯曲变形时, 采用“共同曲率”假设是不合理的。因为, 叠层梁弯曲变形时, 仅有共同的曲率中心, 不存在共同曲率。

[1] 罗建辉, 钟正华, 韩军营. 考虑剪切变形影响的叠层梁层间接触应力研究[J]. 力学与实践, 1991, 13(5): 23–26.

[2] 罗开彬. 考虑剪切变形时叠层梁层间接触压力分析[J]. 力学与实践, 1987, 9(2): 34–38.

[3] 陈杰. 考虑层间接触变形时叠层梁层间接触压力分析[J]. 力学与实践, 2010, 23(4): 45–46.

[4] 胡海昌. 弹性力学的变分原理及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 1981: 151–156.

[5] 张大伦, 李宗榕. 材料力学(上册)[M]. 上海: 同济大学出版社, 1987: 295, 380.

[6] 赵志岗. 工程力学实验[M]. 北京: 机械工业出版社, 2008: 160.

(责任编校: 江河)

Analysis on layer contact pressure and bending deformation in the laminated beam

Wu Xiao, Liu Qiyuan

(College of Mechanical Engineering, Hunan University of Arts and Science, Changde 415000, China)

In the related literature about bending deformation of laminated beam, when the common curvature assumption is used to calculate layer contact pressure of the laminated beam without considering the shear deformation, only the beam segment under the outer loads bears contact pressure and the remaining beam segments have no contact pressure, and this situation will not change unless considering shear deformation. For these reasons, the layer contact pressure and bending deformation in the laminated beam are researched by using the materials mechanics method, and the expressions of the layer contact pressure and deflection curve in the laminated beam are deduced. The results show that the bending deformation in the laminated beam is nonlinear which have the common curvature center but no common curvature. Because the laminated beam has a common curvature center, and without considering the shear deformation, all beam segments in the laminated beam bear contact pressure when the deformation of beam occurs under external force.

laminated beams; contact pressure; bending; curvature center; deflection curve

10.3969/j.issn.1672–6146.2017.01.017

O 341

A

1672–6146(2017)01–0074–04

吴晓, wx2005220@163.com。

2016–09–25

湖南省“十二五”重点建设学科资助项目(湘教发2011[76])。