一类四阶微分方程两点边值问题正解及多个正解的存在性

李 洋

(南京航空航天大学 理学院, 南京 211100)

一类四阶微分方程两点边值问题正解及多个正解的存在性

李 洋

(南京航空航天大学 理学院, 南京 211100)

四阶边值问题；不动点指数；正解；第一特征值

微分方程边值问题是当今国内外热门研究课题之一，尤其是微分方程边值问题正解的存在性更受青睐。梁是工程建筑的重要构件之一，根据梁的两端支撑条件不同，会得到不同的四阶边值问题。由于其在工程上的重要性，近年来有较多文献研究了其正解的存在性[1-8]。然而对于描述一端简单支撑、另一端滑动支撑的弹性梁平衡态的四阶微分方程研究则比较少。

文献[9]研究了如下的四阶边值问题正解的存在性：

(1)

(2)

其中f(t,u)∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞))。利用不动点指数理论考虑四阶边值问题当参数λ在[0,∞)变化时正解的存在性。

受以上文献的启发，本文研究一类四阶微分方程正解及多个正解的存在性，方程如下：

(3)

(4)

1 预备知识与引理

本文总假定：(H1)f∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞))。

为叙述方便，引入下列记号

引理1 边值问题-u″(t)=0,t∈(0,1),u(0)=u′(1)=0的格林函数为

且G(t,s)有以下性质：

1)G(t,s)≥0,G(t,s)≤G(s,s);

2)G(t,s)≥G(t,t)G(s,s)。

记

定义算子A：C+[0,1]→C+[0,1],有

(5)

记

显然，K是C[0,1]中的一个锥。

引理2A(K)⊂K且A全连续。

证明 对于u⊂K,由式(5)及引理1知，Au(t)≥0,t∈[0,1],且

(6)

因此

另一方面由引理1得

(7)

由式(6)和(7)可得

(8)

因此A(K)⊂K。另外由f的连续性及Arzela-Ascoli定理可证A是全连续的。

对r>0,记Kr={u∈K∶‖u‖

引理3[10]设A:K→K是全连续的，并且对任意u∈∂Kr和0<μ≤1,有μAu≠u,则i(A,Kr,K)=1。

引理4[10]设A:K→K是全连续的，并假设以下2个条件满足：

2) 对任意的u∈∂Kr和μ>1,有μAu≠u,则i(A,Kr,K)=0。

2 主要结果

证明 由f00，使

(9)

设r∈(0,r0]，下证μAu≠u，u∈∂Kr，0<μ≤1。事实上，若存在u0∈∂Kr,0≤μ≤1,有μ0Au0=u0，显然u0满足

(10)

(11)

由式(8)知

(12)

因此

故L≤(L-ε)，矛盾。由引理3知

(13)

又由f∞>L知，存在ε∈(0,L)及H>r0,使得

(14)

设

则

(15)

下证μAu≠u,u∈∂KR,μ≥1。事实上，若存在u0∈∂KR,μ0≥1,使μ0Au0=u0,显然u0满足式(10)和边值条件(4),结合式(15),类似式(11)的证明，有

因此

再结合式(12)得

(16)

证明 由f0>L可知,存在ε∈(0,L)及r0>0，使得

(17)

设r∈(0,r0],对任意的u∈∂Kr，结合式(17)得

下证μAu≠u,u∈∂KR,μ≥1。事实上，若存在u0∈∂KR,μ0≥1,使μ0Au0=u0。显然u0满足式(10)和边值条件(4),结合式(17)，类似式(11)的证明，有

仍可得出矛盾。由引理4知

(18)

又由f∞r0,

设

则

(19)

如果存在u0∈∂Kr,0≤μ≤1,有μ0Au0=u0，则结合式(19)得

因此

结合式(12)得

则当R>R0时，u∈∂KR，0<μ≤1，，都有μAu≠u成立。因此，由引理3得

(20)

下面证明对任何u0∈∂Kp,μ0≥1,使μ0Au0=u0,则对于t∈[0,1],有0≤u≤p,故由条件(H2)类似于式(11)证明可得

这显然与a>L矛盾，由此由引理4可得

(21)

由f00,使

(22)

又由f∞0,使

(23)

取R>p>r,由式(21)～(23)得

又因f满足条件(H1)和(H2)，则存在t0∈[0,1],使得f(t0,u0(t))>0,故有

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(责任编辑 陈 艳)

Existence and Multiplicity of Positive Solutions for a Class of Fourth-order Differential Equations of Two-Point Boundary Value Problem

LI Yang

(Department of Mathematics, Nanjing University of Aeronautics of Astronautics，Nanjing 21100, China)

fourth-order boundary value problem;fixed point index; positive solution; first eigenvalue.

2016-04-13

国家自然科学基金资助项目(11572148)；高等学校博士学科点专项科研基金资助项目(20133218110025)

李洋(1991—)，女，江苏淮安人，硕士研究生，主要从事非线性分析研究，E-mail: 1146959574@qq.com。

李洋.一类四阶微分方程两点边值问题正解及多个正解的存在性[J].重庆理工大学学报(自然科学)，2017(1):158-164.

format：LI Yang.Existence and Multiplicity of Positive Solutions for a Class of Fourth-order Differential Equations of Two-Point Boundary Value Problem[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(1):158-164.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.01.024

O175

A

1674-8425(2017)01-0158-07