分类讨论思想在等腰三角形中的运用
2017-02-04黄学财
黄学财
摘 要:数学思想方法对数学教学有着重要的促进和指导作用,它不仅是学生形成良好认知结构的纽带,还是由知识转化为能力的桥梁,是培养学生数学意识,形成优良思维素质的关键。很多学生不太重视数学思想方法,只是一味做题,不会总结,很难达到“懂一题、晓一类、通一片”,因此要有加强数学思想方法教学的意识,并在数学教学过程中不断挖掘和渗透。
关键词:等腰三角形;分类讨论;坐标系;周长
考查等腰三角形的题目时,学生很容易漏解,主要是学生没有认真分析题意,或者是没有考虑周全,解题经验还不够丰富。我们在平时的教学中要多提醒学生,即考查等腰三角形的题目,一般都会指明哪两条边相等,如果不指明就要分类讨论,分类讨论在等腰三角形中的运用非常广泛,如等腰三角形没有指明腰,或者指明了腰,但没有给图,就要分顶角为锐角或钝角,下面我们通过例题来展现分类讨论思想在等腰三角形中的运用。
一、等腰三角形涉及边的问题时,可以按照“腰”和“底边”来分类讨论,但要利用三角形三边关系来判断三角形是否存在
例1.(1)等腰三角形有两边长为4cm和7cm,则周长为
厘米。(15cm或18cm)
(2)等腰三角形的周长为24cm,一边长为6cm,则其余两边长为 厘米。(9cm和9cm)
练习1:等腰三角形有两边长为3cm和7cm,则周长为
厘米。(答案:17cm)
二、等腰三角形中涉及“高”的内角求解问题,可以按照三角形类型分类讨论
此时学生最容易犯的错误是画一个顶角是锐角的等腰三角形,导致漏解,这一点也提醒我们老师在教学中应多画顶角是钝角的三角形,才不会形成思维定式。
例2.△ABC中,AB=AC,CD为AB上的高,且△ADC为等腰三角形,则∠BCD等于 .(22.5°或67.5°)
练习2:等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则顶角的度数是 .(30°或150°)
三、在等腰三角形内角求解的问题中,可以按“顶角”“底角”来分类讨论
例3.已知一个等腰三角形的两内角度数之比为1∶4,则这个等腰三角形顶角的度数为 (20°或120°)
练习3:等腰三角形的一个外角等于100°,则这个等腰三角形的顶角为 .(80°或20°)
四、在等腰三角形中涉及中线的问题,也需要分类讨论
例4.已知一个等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分,求这个等腰三角形底边的长。(1)
练习4: 已知一个等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成9和12两部分,求这个等腰三角形底边和腰的长。(当腰长是6cm时,底边长是9cm;当腰长是8cm时,底边长是5cm)
五、在方格纸或平面直角坐标系中,给出等腰三角形其中一线段或两个顶点的坐标,未指明是腰还是底边,求等腰三角形第三个顶点的个数或坐标
例5.用3×3的正方形网格中,网格线的交点称为格点,已知A、B是两格点,并且A、B在最中间小正方形的相对格点上,如果点C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则点C的个数为 .(答案:8)
练习5:在平面直角坐标系中,点A在第一象限,A(2, 1),点P在x轴上,若以P,O,A为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点P共有 个。(答案:4)
本题还可发散为点P在坐标轴上,则符合条件的点P有几个?
例6.已知A(2,0),B(0,2),试在x轴上确定点M,使△MAB为等腰三角形,写出所有满足条件的点M的坐标。(0,0),(-2,0),(2+2,0),(2-2,0)
六、等腰三角形与四边形的结合问题,求相关线段的长度
例7.在边长为4的正方形ABCD中,点P在AB上从A向B运动,连结DP交AC于点Q.若点P从点A运动到点B,再继续在BC上运动到点C,在整个运动过程中,当点P运动到什么位置时,△ADQ恰为等腰三角形.
(分析:若△ADQ是等腰三角形,则有DA=DQ或QD=QA或AQ=AD
①当点P与点C重合时,点Q与点C也重合,此时DA=DQ,△ADQ是等腰三角形;
②当点P运动到与点B重合时,由四边形ABCD是正方形知QD=QA,此时△ADQ是等腰三角形;
③设点P在BC边上运动时,有AD=AQ,可算出当CP=4-4时,△ADQ是等腰三角形.)
总之,学习等腰三角形,必须熟练运用等腰三角形的性质,看到等腰三角形题目要能联想到它的性质,如,等边对等角、三线合一,还有等腰三角形容易出现分类讨论,要让学生养成分类讨论等数学思想在等腰三角形中的应用。
参考文献:
[1]常汝吉.数学课程标准[M].北京师范大学出版社,2011.
[2]林群.教师教学用书[M].华东师范大学出版社,2013.