基于系统动力学的反舰导弹饱和攻击模型

李 明，王光辉，谢宇鹏，徐光达

（海军航空大学，山东烟台264001）

反舰导弹饱和攻击是突破一体化舰载防空系统的核心战术，因为一体化舰载防空系统都是为抗击反舰导弹的饱和攻击而设计的。文献[1]研究了一个批次反舰导弹突破舰载反导武器的拦截问题，但没有考虑反导武器的连续拦截能力；文献[2]建立了舰艇编队防空的模型，但没有考虑不同反导武器有效空域对拦截效果的影响；文献[3-5]采用时间协同制导导引律；文献[6-9]为每枚弹构造一个虚拟领弹的方式，解决齐射的反舰导弹几乎同时到达目标问题，但没有解决反舰导弹的使用效率问题。在正常情况下，反舰导弹捕捉目标的概率一般接近1[10]，所以本文仅研究反舰导弹的突防问题。本文建立了一种动态模型模拟一体化舰载防空系统拦截齐射反舰导弹的过程，因为突防1枚即可对舰艇目标造成致命打击，以突防1枚以上反舰导弹作为形成饱和攻击的标志。

1 舰载一体化防空系统的排队服务规则

舰载一体化防空系统主要包括舰空导弹、火炮和电子战系统，指挥控制系统将它们有机连接在一起，它根据目标的速度、位置、各反导武器的性能、状态，为每一枚进入的反舰导弹分配武器，共同完成防空反导的任务。

1.1 舰空导弹武器系统排队服务规则

由于地球曲率的影响，舰载雷达难于在远距离上发现掠海飞行的反舰导弹，因此，这里仅研究应用最广泛的半主动寻的中近程舰空导弹的拦截问题。

虽然威胁程度可由多种因素融合而成[11]，但任何来袭的反舰导弹对目标而言都是致命的。因此，本文采用根据反舰导弹到达目标的时间长短确定反舰导弹的威胁等级，反舰导弹到达目标的时间越短，威胁程度越大。舰空导弹武器系统对反舰导弹的拦截是一个先来先服务的模型，反舰导弹是顾客，舰空导弹武器系统提供服务。因为舰载制导雷达对掠海飞行导弹的作用距离在20km左右，与反舰导弹末制导雷达的自导距离相近，在此距离上很难判断反舰导弹是否被成功干扰。因此，应该为每枚进入舰空导弹发射区的反舰导弹提供服务（拦截），但舰空导弹武器系统同时拦截反舰导弹数不大于可用制导雷达数。服务规则概括为：

1）以进入目标的顺序作为武器分配的优先排序；

2）进入舰空导弹发射区的反舰导弹，如果没有空闲制导雷达可用，插入排队队列等待服务；

3）舰空导弹武器系统提供的服务是每次发射n（n=1,2）枚舰空导弹进行拦截；

4）只有判断本次拦截失败，才能实施下一次拦截；

5）只有判断拦截成功或反舰导弹飞出舰空导弹发射区，其占用的制导雷达才能分配给其他反舰导弹（转火）。

1.2 电子战系统的排队服务规则

电子战系统对反舰导弹的干扰可以看作是对成批顾客服务。电子干扰是否成功主要由3个因素决定，一是反舰导弹末制导系统的制导体制、工作方式、采用的抗干扰技术、信息处理技术和目标识别技术等；二是目标舰干扰装备的性能、使用时机及使用方法；三是目标舰所在战场的电磁环境。因此，对反舰导弹干扰效果进行仿真很复杂，即使采取实物进行反舰导弹抗电子干扰的试验，其结果也未必具有代表性和普遍意义[12]。因此，本文仅设置电子战系统对每枚反舰导弹成功干扰的概率。

1.3 小口径火炮服务规则

反舰导弹的速度快、体积小，且大中口径火炮的射速低，它们的作战空域与近程舰空导弹重合[13]。所以，这里仅研究近程小口径火炮对反舰导弹的拦截问题。

小口径火炮系统对反舰导弹的拦截是一个先来先服务的模型，服务规则[14]为：

1）以进入目标顺序作为武器分配的优先排序；

2）只有进入小口径火炮有效作用范围，才申请服务；

3）因为研究的是高强度的反舰导弹攻击，提供的服务是为每一枚反舰导弹分配一座小口径火炮；

4）没有可用的小口径火炮时，则进入排队队列等待服务；

5）只有反舰导弹进入火炮的近界，才能转火。

2 一体化反导武器的拦截过程

被目标探测到的反舰导弹对目标均造成致命的威胁。由于反舰导弹有自寻的能力，在相对较远的距离上很难判断电子干扰的结果，如果反舰导弹较接近目标时，可通过目标的航路捷径判断反舰导弹被干扰的效果。所以，被目标探测到的反舰导弹首先分配给舰空导弹，突破舰空导弹和电子战系统拦截的反舰导弹，再分配给近程火炮，在拦截反舰导弹的过程中各反导武器的状态根据拦截效果和反舰导弹位置发生变化[15]。

2.1 反导武器的状态

制导雷达共有2种状态：

发射装置有3种状态：

小口径火炮有3种状态：

2.2 系统动力学仿真结构

控制中心控制攻防对抗的过程，采用时间触发器，实时更新各反舰导弹的状态和位置信息[16]，根据排队规则分配武器，进行拦截效果判断和结果统计，更新并登记反舰导弹（ASM）及反导武器（SAM）的状态，如图1所示。

图1为反舰导弹和防空武器系统的对抗仿真结构，在设定初始条件后可以根据时间触发机制进行对抗仿真。在时刻t，第j枚导弹的实时距离为

式（4）中：R1为发射第1枚舰空导弹时，第1枚进入的反舰导弹与目标的距离；Rj为对抗到t时刻，第j枚反舰导弹与目标的距离；va为反舰导弹的平均速度；Δti为第i枚与第i+1枚反舰导弹进入目标的时间间隔，该时间间隔用[0，1]均匀分布随机数表示[13]；t为系统时间，是发射第1枚舰空导弹拦截第1枚进入的反舰导弹的时间，且

式中，τ为时间触发器的步长。

当k=0时，第1枚进入的反舰导弹与目标的距离为

式（6）中：Rmax为舰空导弹的发射区远界；vs为舰空导弹的平均飞行速度；t1为舰空导弹火控系统的反应时间（转火时间）。

随着k的增加，反舰导弹的位置和反导武器的状态被更新。

2.3 状态转移条件

2.3.1 舰空导弹状态转移条件

当第j枚反舰导弹进入舰空导弹发射区时，申请服务的条件为：

式中，Rmin为舰空导弹的发射区近界。

制导雷达Zi分配给Dj，其状态从0转移到1。

Dj为第j枚反舰导弹被舰空导弹成功拦截或进入舰空导弹的最小拦截距离[17]，其占用的Zi从状态1转移到状态0，即

式（8）、（9）中：t2为拦截效果评估时间；Ps为舰空导弹一次拦截成功摧毁一枚反舰导弹的概率；η1为[0，1]均匀分布随机数；tLi为发射装置Li开始发射导弹的时间；tm为从申请发射装置到发射完毕的时间，且当发射装置空闲时，

当发射装置忙时，

式（10）、（11）中：n为一次拦截齐射舰空导弹数；t3为2枚舰空导弹的发射间隔；tL是发射装置可用的时间；tZi为制导雷达Zi被分配给Dj的时间。

于是有：

式中，Ps1为舰空导弹单发毁伤概率。

Zi保持忙的条件是拦截失败[18]，且该反舰导弹仍在舰空导弹发射区内，即

发射完毕且发射装置Li有导弹，其状态从2变为0，即

式中，mLi为Li剩余舰空导弹数，且

式（15）中：mk为拦截Dj时Li发射的导弹数；MLi为Li的初始备弹量。

发射完毕且发射装置Li没有导弹，其状态转为2，即

发射装置Li装填好导弹，其状态从2转为0。

2.3.2 近程火炮状态转移条件

未被舰空导弹拦截或突破舰空导弹拦截、且未被电子干扰的反舰导弹，当其进入小口径火炮的射界时，才会为其分配小口径火炮[19]。Dj已被分配给舰空导弹的情况下：

式（17）中：η2为[0，1]均匀分布随机数；Pe为Dj被成功干扰的概率；Rgmin为火炮的射击近界。

Dj未被分配给舰空导弹的情况下：

小口径火炮Gi分配给Dj后，Dj=1。因为反舰导弹的速度快，小口径火炮对其射击的时间只有几秒钟，不考虑火炮在射击时间内的转火问题。Gi从Rgmax射击到Rgmin，其状态转为0的时间及条件为

式（19）中：tGi为火炮Gi被分配给Dj的时间；nGi为剩余炮弹数，且

式（20）中：NG为火炮初始备弹量；nk为火炮Gi拦截Dk的炮弹消耗量，如果火炮Gi未被分配给Dj，nk=0；如果火炮Gi被分配给Dj，则

式（21）、（22）中：vr为射速，单位为发/秒。

当弹鼓内的炮弹用完，火炮的状态为2。重新装填好炮弹，Gi=0。

2.3.3 反舰导弹状态转移条件

如果Dj被成功拦截，Dj=1，其条件为：

式（23）中：η3为[0，1]均匀分布随机数；Pg为Dj被火炮成功拦截的概率，且

式（24）中，Pg1为一座火炮从Rgmax射击到Rgmin对反舰导弹的摧毁概率。

3 饱和攻击所需齐射反舰导弹数

对反导能力较强的目标而言，小规模反舰导弹的齐射很难突破目标的拦截[20]，如果Dj突破了目标的拦截，可近似认为达到了饱和攻击[21]，即：如果Dj满足

齐射j枚反舰导弹能对目标形成饱和攻击，一次模拟结束。

因为饱和攻击所需齐射导弹数未知，在仿真对抗中，齐射反舰导弹数不限，齐射j枚反舰导弹达到饱和攻击的次数为Nj，共进行N次模拟，齐射j枚反舰导弹形成饱和攻击的概率密度为：

齐射j枚反舰导弹形成饱和攻击的概率为：

所需齐射反舰导弹数的数学期望为：

假设在一次齐射没有达到目的的情况下，再次齐射相同数量的反舰导弹，反舰导弹消耗量的期望值[22]为f(j)。

所需最优齐射导弹数为：

4 举例

各参数为：Rmax=15km，Rmin=2km，vs=1km/s，Ps=0.5；t1=4 s，t2=3 s，t3=3 s，ML=60，有效照射雷达3部，发射装置2座，n=2；有效火炮2座，vr=50 round/s，NG=3 000，Rgmin=0.3km ，Rgmax=1.5km ，tg=2 s，Pg=0.7；va=0.3km/s；τ=0.05 s，N=5 000。因为对抗的时间非常短，不考虑舰空导弹和火炮的重新装填。仿真结果如表1、2和图2、3所示，表1、2中的所需齐射导弹数按大取整。

表1 达成饱和攻击概率及所需导弹数（N=1）Tab.1 Reach saturation attack probability and the number of missiles（N=1）

表2 达成饱和攻击概率及所需导弹数（N=2）Tab.2 Reach saturation attack probability and the number of missiles（N=1）

表1显示要求突防1枚反舰导弹的概率越高，所需齐射的反舰导弹数越多。相邻反舰导弹进入目标的时间间隔越短，所需的反舰导弹数越少。

比较表1、2，可以发现，在相同条件下，当齐射导弹数稍大于突防1枚所需齐射导弹数时，另1枚反舰导弹很容易突破目标的防御，这意味着饱和攻击已形成。

图2显示齐射反舰导弹数以一定的概率对目标形成饱和攻击，在反舰导弹到达目标时间间隔一定的情况下，随着齐射反舰导弹数的增加，概率密度的变化率有一跃升，它是舰载反导系统能在该条件下同时拦截反舰导弹数的临界点，且反舰导弹到达目标的时间间隔越短，达到该临界点所需齐射反舰导弹数越少，即越易形成饱和攻击。

图3显示了不同齐射导弹数的弹药消耗量的变化趋势，齐射导弹数过少或过多的效率都低，存在一个最优齐射数量，它与反舰导弹进入目标的密度和反导武器的性能有关。

仿真结果也给出了电子干扰对饱和攻击所需反舰导弹数的影响。因为我们假设干扰效果采用反舰导弹的航路捷径来判断，干扰结果仅影响小口径火炮的拦截，所以，有和没有电子干扰仿真结果的差异不是很大。

5 结论

建立的模型模拟了舰载反导武器对齐射反舰导弹的拦截过程[23]，得到了齐射反舰导弹数与形成饱和攻击概率的关系，只要确定了齐射反舰导弹进入目标的时间分布和反导武器的主要参数，即可利用本模型仿真对目标实施饱和攻击所需齐射导弹数的最优值，为高效率使用反舰导弹奠定了基础。

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