有理数减法法则教学探究性的思考

张 东

（北京教育学院朝阳分院）

有理数减法法则教学探究性的思考

张 东

（北京教育学院朝阳分院）

有理数减法法则的探究过程是学生积累逆运算法则探究经验的重要学习资源，文章通过对有理数减法法则探究方法的开放性、探究思路的元认知的分析，提出在有理数减法法则教学中，教师应以学生的已有经验为出发点，以积累逆运算法则探究经验、感悟归纳与化归的数学思想、发展学生创新能力为目标，增强探究有理数减法法则教学的开放性与元认知，通过让学生自主思考探究方案、自主设计实验方案、自主评价探究结果、自主反思探究经验等活动创造出属于自己的有理数减法法则，促进学生对有理数减法的多元理解，提高学生数学研究能力、数学抽象能力、发现创新能力.

有理数减法；开放性；元认知

有理数减法是初中数学教学的重要内容，这不仅因为减法属于运算的基本运算形式，还在其法则探究过程中的分类、归纳、化归等数学探究经验，对今后探索其他数学运算特别是逆运算的运算法则具有重要示范和启迪意义.有理数减法法则在课堂教学中通常采用探究式教学方式，然而最近笔者在一系列听课过程中发现，在有理数减法法则的探究式教学中普遍存在着探究方法的开放性缺失、探究思路的元认知缺位的问题，这一方面，减弱了探究有理数减法法则的思维含量；另一方面，也不利于学生基本数学思想的感悟与基本数学思维活动经验的积累.下面笔者就有理数减法法则教学的探究性，谈谈自己思考.

一、有理数减法法则探究的开放性

对于有理数减法法则的探究大多数教师均采用“让学生从具体事例中归纳发现有理数减法可以转化为有理数加法”的探究思路.然而当学生在通过“再创造”自己探索有理数减法法则时，他们可能想到的探究思路是唯一的吗？学生首先想到的探究思路会是什么？其他思路不合理吗？其他思路是否也很有价值，是否也应该允许学生进行尝试？

我们都知道学生在学习有理数减法之前，刚刚从有理数加法那里获得了一种探索运算法则的经验：将运算按符号进行分类，然后将运算结果与参与运算的两数从符号和绝对值两个方面观察其联系，再通过归纳得出法则（简便起见笔者将这种方法简称“符号绝对值法”）.因此，当学生接下来面对“该如何探索有理数减法运算法则？”时，自然的想法是先想到“符号绝对值法”.这一点在实际教学中得到了验证.在笔者听到的五节课中，学生几乎都一致的首先想到的是“符号绝对值法”，而非转化的探究思路.课下笔者访谈了几名学生：是由什么想到要通过分类，然后观察符号与绝对值法的思路探索有理数减法法则的？学生的回答是那么的自然朴实：有理数加法法则不就是这么探索出来得吗？

从本质上来看，运算法则属于在一定的算理指导下归纳出来的操作性问题解决步骤.因此，即使是对同一种运算，不同的算理会衍生出不同形式的运算法则.所以法则的探索往往具有开放性，如有理数除法法则就有两种形式，复数的各种运算法则也随着复数的代数形式、向量形式、三角形形式、指数形式的不同而不同.对于有理数减法法则而言，无论是在类比与分类思想指导下的按照“符号绝对值法”，还是在转化思想指导下的从有理数减法与有理数加法联系的角度进行探索，都是有教育价值的，都对于后续探究其他数学问题具有一般指导意义.例如，有理数乘法法则的探索采用的就仍然是从符号和绝对值去探索，而有理数的除法由于是乘法的逆运算，因此既可以采用类比有理数加法，又可以类比有理数减法，从两个方面去探索其运算法则.

另外，从探究式教学本身来看，一个好的探究式应该具有三个特征：一是探索性，能激发学生探究的欲望；二是开放性，同一个问题可能有多种不同的解法或多种可能的答案；三是推广性，一个数学问题能推广或扩充到多种情形.钟启泉教授甚至认为，问题的探究性取决于问题的开放性.所以在有理数减法法则的探究式教学中，教师应尊重学生各种自然朴素而又饱含思维含金量的想法，增加探究的开放性，给学生充分自主、自由、开放的探究空间，让学生享受自主探究、自我创造的快乐，发展学生研究数学问题的能力和自主创新能力.

二、有理数减法法则探究思路的元认知

元认知在探究性教学中有着十分重要的作用，它既是引导认知活动的路标，又是促进探究活动的动力.南京师范大学涂荣豹教授指出，探究起始阶段需要通过元认知确定探究目标和选择认知策略，探究展开阶段需要通过元认知调节、监控探究方向并促进探究前进的过程，探究结束阶段需要运用元认知总结反思探究的数学思想、经验与方法，以及成功与得失.

有理数减法法则探究思路的元认知就是指关于“怎样探究”“为什么要这样探究”的问题.思路1，是上述的“符号绝对值法”，产生这一思路的数学思考是类比有理数加法法则的探究经验；思路2，是探索减法法则与加法法则的关系，产生这一思路的数学思考是既然减法从意义上来说与加法有联系（即求两个数的差就是求一个数，使其与减数的和等于被减数），那么有理数减法在运算方法上能否与有理数加法建立更直接的联系，即a-b能否等于a+□，并且□表示的数是否与a，b具有规律性的联系，这样计算减法时只需把减法化为加法，然后按照加法法则计算即可，这样一个法则就能解决两种运算问题了.事实上，这一思考经验在后续学习中具有重要意义：在研究有理数除法、同底数幂的除法、向量的减法法则，两角差的三角函数公式等具有互逆关系的运算法则时，无不与有理数减法法则的这一数学思维经验是一致的.

然而在探究有理数减法法则时，很少有教师在探究前先引导学生进行上述探究思路的思考，明确“怎样探究”“为什么要这样探究”，或者探究后反思“我们是怎样探究的”“为什么可以这样探究”“这样探究有何好处”.绝大多数教师都是从思维的中间部分而不是思维的起点开始教学，学生只需要来完成教师设计的探究任务即可，至于为什么要完成这些任务，完成这些任务与探究有理数减法有何关系等问题学生却很少有思考的机会，于是学生就像蒙上双眼后被牵着行走的盲人，教师说往哪里走，学生就往哪里去，糊里糊涂地从事着所谓的“伪探究”.

长此以往，学生永远都只能是探究的参与者，而无法成为探究的设计者，当学生再次面对一个新问题时，离开了教师学生仍然不具备自己独立去设计一个探究方案的能力.在当前倡导深度学习，强调“创造学习”的今天，这样的教学既不利于学生真正理解有理数减法法则的实质，感悟探究过程中蕴涵的数学思想，又不利于学生积累法则探究特别是逆运算法则的思维经验，更不利于学生创新能力的培养.

三、有理数减法法则教学探究性的思考

基于以上分析，笔者对有理数减法法则的教学设计进行了新的思考，设计如下.

问题1：上节课我们研究了有理数加法的运算法则，这节课我们继续来研究有理数的运算，请同学们思考“如果北京某天的气温是-3℃～3℃，那么这一天的温度差该如何计算？并观察列出的算式属于哪种运算？”

实施情况：学生列出算式3-（-3），并发现由于参与运算的数都是有理数，所以属于有理数的减法运算.

【设计意图】从实际问题中引入有理数运算的数学问题.

问题2：你能想到3-（-3）的运算结果吗？说说你的理由.

追问：有理数减法的意义与小学减法的意义相同吗？

实施情况：学生分别从两个角度想到了3-（-3）的运算结果.一部分学生从减法的意义（即求两个数的差就是求一个数，使其与减数的和等于被减数）发现3-（-3）=6；另一部分学生联系实际意义考虑，比如从温度计上来看，3℃比-3℃高6℃，所以3-（-3）=6.

【设计意图】获得从减法的意义或者通过直观得到差的方法，并体会减法与加法的互逆关系.

问题3：就像研究有理数加法运算一样，在研究一种运算时，我们除了可以从他本身的意义或从生活经验联想到结果外，往往还要研究这种运算是否有更容易操作的、简单的且富有程序化的运算法则.下面请大家思考一下，如果我们要研究有理数减法法则，应该怎样进行研究呢？

实施情况：教师让学生先独立思考，然后小组讨论.在思考与讨论的过程中，有的小组毫无思路或思路比较单一，此时教师通过问题进行启发.（1）回顾前面内容的学习，你研究过有关运算法则的问题吗？还记得是怎么研究的吗？（2）除了可以模仿有理数加法法则的探究思路，我们还可以从哪个角度思考有理数减法的运算方法？（3）既然我们知道减法与加法在意义上具有联系，那么能否进一步从运算法则上也考虑减法能否与加法建立联系呢？你想到了怎样探究有理数减法的思路了吗？在学生独立思考、小组交流与教师的启发下，学生发现了两种思维路径：类比有理数加法或考虑a-b=a+（ ）.

【设计意图】通过开放性探究活动，让学生自己提出有理数减法法则的探究思路，从而使学生体会到法则探究思路背后的数学思考，感悟类比、化归思想这两种研究数学问题的思维方法.

问题4：同学们通过思考与讨论，现在已经思考出了两种研究有理数减法法则的方案.那么具体的，我们在这两个方案思想的指导下，应设计一个怎样的具体试验方案去得出有理数减法法则呢？请同学们以小组为单位设计一个具体的研究方案，并观察试验结果，归纳概括出一个有理数减法的运算法则.

实施情况：由于学生已经有了很明确的指导思想，加之学生在以前的学习中积累了丰富的通过列举具体数或算式，进行归纳概括的经验，同时具有探索有理数加法的探究经验，所以学生较容易地想到了按照同号两数，异号两数，一个数与0的分类标准分别列举一些具体的有理数减法算式.例如，3-5，（-3）-（-5），3-（-5），（-3）-5，3-0，-3-0，0-3，0-（-3），再通过归纳概括获得法则的试验方案.通过讨论，学生归纳出了如下几种有理数减法的运算法则.

法则1：同号两数相减，当被减数大于减数时，结果为正，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；当被减数小于减数时，结果为负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.异号两数相减，当被减数大于减数时，结果为正，并把绝对值相加；当被减数小于减数时，结果为负，并把绝对值相加.一个数减去0，仍得这个数，0减任何数等于这个数的相反数.

法则2：两数相减，当被减数大于减数时，结果为正，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；当被减数小于减数时，结果为负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；当两数相等时，差为0.

法则3：减去一个数，等于加上这个数的相反数.

【设计意图】让学生自主选择探究方案，自主设计实验方案，经历有理数减法的发现过程，创造出属于自己的有理数减法法则，增强学生对有理数减法的多元理解，促进学生数学研究能力、数学抽象能力、发现创新能力的发展.

问题5：同学们如何评价对于上述三种有理数减法法则？你更喜欢哪一个？为什么？

实施情况：学生对评价非常踊跃，学生普遍认为法则1虽然很具体，但分类过于复杂，记忆起来比较困难，并且漏掉了“两数相等”的情况；法则2是对法则1的整合，虽然比法则1简化了很多，但和法则3比较仍然比较复杂；法则3最简洁、最神奇，这样只要记住有理数加法法则，就能同时解决加法和减法两种运算问题了，并且所有学生都认为应该将法则3定为有理数减法法则.

【设计意图】使学生通过比较与评价，自己发现并感悟到有理数减法法则所蕴含的数学智慧，体会从数学角度解决问题的思考方式.

问题6：如果再遇到要研究一种新运算的运算法则的问题，你能从有理数减法法则的探究中，获得一些经验吗？

实施情况：学生说到“可以仍然考虑从符号和绝对值去考虑”“如果新运算是旧运算的逆运算，可以研究怎样将新运算转化为旧运算，用旧运算的运算法则计算新运算”“可以通过举一些例子发现运算法则”“举例要考虑到各种情况”……

【设计意图】让学生及时反思、总结数学探究的经验.

笔者将改进后的教学设计与常规设计由同一位老师在北京市朝阳区某所普通中学的两个同等水平的普通班进行了同课异构的教学试验.试验发现，采用改进后的设计教学的班级中，95%的学生能说出有理数减法法则与加法法则的联系与差异，以及产生这种差异的原因；学生在应用有理数减法法则进行运算时主动性与灵活性更加突出；特别是在探究有理数除法法则时，90%的学生居然能自主设计出有理数除法法则的探究方案，并自主探索出两种运算法则，学生的探究能力显著较高.

四、结束语

在“依据核心素养确定学科核心素养，依据学科核心素养修订课标与重组教材”的新一轮课程改革背景下，如何让数学核心素养在数学课堂落地已成为广大中学数学教师必须要积极探索的问题.杭州师范大学张华教授说过，发展学生的核心素养，就要让学生经历真实的探究、创造、协作与问题解决.在此过程中，一切基础知识、基本技能均成为学生探究的对象和使用的工具，其目的是产生学生自己的思想和理解.希望笔者自己关于增强有理数减法法则探究性的不成熟的思考与改进建议，能为一线教师在研究课堂教学中如何发展学生核心素养方面，提供一定的参考与启发.

［1］王冰.中学数学探究性教学的基本原则［J］.大连教育学院学报，2006（2）：18-19.

［2］钟启泉.研究性学习案例解析［M］.上海：上海教育出版社，2003.

［3］涂荣豹.探究教学三要诀［J］.中国教育学刊，2006（5）：62-63.

2017—07—09

张东（1979—），男，中学高级教师，主要从事中学数学课堂教学和数学教师发展研究.