求参数范围问题中的一类错因分析

王会银

（江苏省扬州大学附属中学）

求参数范围问题中的一类错因分析

王会银

（江苏省扬州大学附属中学）

恒成立问题是数学中的常见问题，此类问题常与求参数范围结合出现在高考题中，是热点也是难点和易错点，本文从逻辑的角度对此类问题的错误原因进行探析。

由导数知识可知：h（x）min=h（1）=3 ∴由①得a≤3

而φ（x）在（0，+∞）上是单调增函数且当x→+∞时，φ（x）→+∞

所以满足条件②的a不存在.

综合上述研究可得a的取值范围是a≤3.

图1

由（Ⅱ）对∀x＞0成立得满足条件的a不存在，所以a的取值范围是a≤0

事实上，若将a换成y，我们可以从图形的角度来分析上述解法的错误（线性规划的思想）得到正确解法。

图2

图3

下面再给出例1的两种正确解法。

图4

分情况讨论：

所以当a≤0时f（x）≥0恒成立.

只要研究f（x）在（0，+∞）上的最小值，由导数知识可得f2（x）在（0，+∞）上是单调减函数，f1（x）在（0，1）上单调减在（1，+∞）上单调增，所以要分情况讨论：

f（1x）在［，+∞）上是增函数，f（2x）在（0，］上是减函数

所以（fx）min=（f）=-1≥0 ∴a≤4又∵a≥2 ∴2≤a≤4

f（1x）在［，1］上单调减在［1，+∞）上单调增

f（2x）在（0，］上是减函数 ∴（fx）min=（f1）=3-a≥0 ∴a≤3

∴0＜a＜2时，f（x）≥0恒成立.

由上述讨论可知a的取值范围是几种情况的并集（-∞，0］∪（0，2）∪［2，4］=（-∞，4］

总结：解法1和解法2都用到了“分离变量法”，解法4用到“研究含参函数最值法”，这两种方法都是解决不等式恒成立问题的常用方法，前三种解法都用到“数形结合”的数学思想方法，当问题涉及的函数图象是学生熟悉的图像时，“数形结合”显然是一种简洁有效的方法。

二、形如f（a，x）g（a，x）＞0恒成立问题中的错因分析

问题二：（浙江2012理科卷17题）设a∈R，若x＞0时均有［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0，则a=___________

错解：等价转化为［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0对∀x＞0恒成立

对错解纠正可以得到下面的正确解法：

即（Ⅰ）对∀x∈［2，+∞）恒成立或（Ⅱ）对∀x∈（0，2］恒成立.

此题还有多种其他解法，下面给出其中的两种：

图5

图6

图7

正解2：（数形结合）设y1=（a-1）x-1（x＞0），y2=x2-ax-1（x＞0）

①当a≤1时，y1＜0，y2的值在x→+∞时y2→+∞，因而不满足y1y2≥0对∀x＞0恒成立

正解3：（函数与方程思想）设f（x）=［（a-1）x-1］（x2-ax-1），研究方程［（a-1）x-1］（x2-ax-1）=0（*）分情况讨论：

①当a=1时，f（x）=-x2+x+1，f（2）=-1＜0，所以不符合题意

②当a＜1时，方程x2-ax-1=0有一正一负两不等实根，方程的根（a-1）x-1=0，所以方程（*）有一正两负的实根，由三次函数图像（图6）知f（x）≥0不恒成立

总结：上述两例的逻辑错误实际上都是“或”惹的祸，即（Ⅰ）或（Ⅱ）对∀x∈D恒成立不等价于（Ⅰ）对∀x∈D恒成立或（Ⅱ）对∀x∈D恒成立，对此类问题还是以数形结合或分类讨论的方法处理较为稳妥。

罗增儒.一道不等式恒成立高考题的错解分析［J］.中学数学教学参考，2013（9）.

●编辑 李博宁