利用辅助平面法求结合线展开圆管斜插正四棱锥（台）的相交构件

孙浩

摘要：利用辅助平面法求出结合线，并求出各管件的实长，用放射线展开法展开各管节。

关键词：展开；实长；投影；辅助平面

中图分类号：RT311 文献标识码：A 文章编号：2095-3178（2018）20-0430-01

如果一个平面同时截切两个相交形体，则该平面在两个相交形体表面上各得到一条截交线，如果两条截交线相交，则这交点必是两相交形体表面的公共点，从而是它们的结合点，作一系列平面，照上述作法，就得到一系列结合点，将这些结合点用描点法连接起来，即可得到二相交形体的结合線。由于结合点的得出是通过作平面进行的，所以这种方法叫辅助平面法。从辅助平面法的原理可知，从理论上讲，所有相交形体的结合线均可由辅助平面法无一例外地作出来。举例说明如下：

如图一：辅助平面法求结合线方法简述如下：1.首先画出没有结合线的二视图，以及圆管的断面图，在平面图中，二管的水平中心线重合；将立面图中圆管断面图八等分，我们就取过圆管素线2"-2Ⅲ、3"-3Ⅲ、4"-4X且垂直于正立投影面的平面为辅助平面，同时，又取过平面图中水平轴线D'-5"且垂直于水平投影面的平面作为另一个辅助平面，因此本例采用了两种类型的辅助平面；2.我们来看辅助平面D'-5"，由于它过二形体的水平轴线，可知在立面图中二形体的轮廓线就是辅助平面的截交线在立面图中的投影，从而轮廓线的交点1°、5°就是立面图上的结合线上的点；再利用正四棱锥的素线O-C（O'-C'）

（或者圆管的素线）通过素线法投到平面图中而得平面图上的结合点1 OO、5OO（顺便提及，当二形体如本例那样前后对称时，立面图中投影轮廓线的交点就是结合线上的点）。再看另一组轴助平面，这里仅以2"-2Ⅲ为例说明：利用断面图的性质，可把辅助平面2"-2Ⅲ在圆柱面上的截交线投到平面图中去，得直素线2"-2OO、2"-2OO（这是素线法的特例）；平面2"-2Ⅲ在棱锥上的截交线表现在平面图中是小四边形，四边形顶点都在棱锥的棱上，首先利用棱锥素线O-C（O'-C'）、O-D（O'-D'）通过素线法将2'、2Ⅲ投到平面中而得2V和2V；立面图中2"-2Ⅲ上的2X点在特殊的位置，我们使用纬线法求它的水平投影：作过2X的水平线交边于2XX，由2XX向下引垂线交平面图水平轴线（棱O-D的水平投影O'-D'）于2XX，过2XX依次引D'-E'-C'-E"-D'的平行线所得到的四边形就是立面图中过2X的水平纬线在平面图中的投影，E'-E" 上的顶点2W，2W就是2X的水平投影，然后连接平面图中的2V-2W-2V-2W就是辅助平面2"-2Ⅲ在棱锥上的截交线的水平投影；以同样方法求出其他两个辅助平面在二形体上截交线的水平投影；3.在平面图中找到同一平面上的两截交线的交点2OO、3OO、4OO，把1OO-2OO -3 OO -4OO -5OO -4 OO -3OO -2OO -1OO用描点法连接起来，分清可见性，即得到平面图中的结合线；4.再利用圆管的八等分素线通过素线法将所有结合点投到立面图中去，例如过2OO引向上的铅垂线交立面图中圆管素线2"-2Ⅲ于2°点等，再用描点法把1°-2°-3°-4°-5°连接起来，即完成立面图中的结合线。由于二形体前后对称，故结合线也前后对称，结合线的正面投影积聚为一条曲线。

作展开图的方法：现特别叙述正四棱锥（台）侧面的展开步骤如下：如图二所示，使用放射线展开法，1.在二视图中作过结合点的素线，交底面周边于11、21、31、41、51、22、32、42各点，这相当于将锥体表面分割成了若干小部分；2.以棱的实长O-C为半径，以O为圆心画圆弧，在弧上依次截取弦长等于平面图中锥底的边长，得截点D'、E"、C'、E'、D'，然后将O与D'、E"、E'、C'、D'相连，在连线C'-E"、C'-E'上照录平面图周边上的21、31、41各点，然后将它们

与O相连接，由此既完成了棱锥展开图又作出了为展开其孔所必需的放射线；3.过立面图中的结合点2°、3°、4°引水平线交边线于22'、32'、42'三点，以O为圆心，以O到B、1°、22'、32'、42'、5°各点的距离为半径画同心圆弧，交四条棱线所构成的放射线于A'、F'、B'、F'、A'、1X、23、24、25、33、34、35，43、44、45、5X各点，用折线把A'-F'-B'-A'，23-24-25，33-34-35，43-44-45连接起来，其中后三条连线与同名放射线O-21、O-31、O-41对应相交于2X、3X、4X各点，最后用描点法将1X、2X、3X、4X、5X连接起来，就得到棱锥上孔的展开曲线1X-2X-3X-4X-5X-4X-3X-2X-1X，而棱锥台的展开图就是E"-C'-E'-D'-A'-F'-B'-F'-A'-D'-E"。

这里所用的放射线法与常用的方法完全相同，只是求实长的方法略有变通。以O-3°为例说明如下：设过O-3°所作的素线为O-32（O'-31），过3°的水平线为33-33'-32'，那么3°点就在O-32（O'-31）和33'-32'-32'交点处，而且也一定在展开图中相应展开曲线的交点上；在展开图中，过3°的素线展为O-31，而水平截交线33-33'-32'展为折线37-33-34-35-36，它们相交于3X，所以3X就是3°的展开对应点，不难知道O-3X是O-3°的实长。这种求实长的方法也可用其它方法代替，用途一般也只限于棱锥侧面孔的展开，不过此法的好处在于不用专求实长，因此比较简捷。