一个供应链系统可靠性模型时间依赖解的渐近行为

阿力木·米吉提

(新疆广播电视大学远程教育学院,新疆乌鲁木齐830049)

一个供应链系统可靠性模型时间依赖解的渐近行为

阿力木·米吉提

(新疆广播电视大学远程教育学院,新疆乌鲁木齐830049)

本文研究一个供应链系统可靠性模型的时间依赖解.利用C0-半群理论研究该模型相应算子的谱的特征,获得了该系统模型时间依赖解的渐近行为,推广了文献[8]中的结果.

供应链系统;特征值;豫解集;几何重数

1 引言

在全球化趋势下,对于供应链这个日益复杂的系统,如何分析和提高其可靠性变得日益迫切,并受到越来越多的关注[1-6,8].Thomas于2002年首次将可靠性工程应用到供应链中,提出用可靠度来度量供应链系统的可靠性[3].Sohn等认为供应链的可靠性就是顾客要求的产品质量可靠性[4].王建、张文杰从单级供应链可靠性分析出发进行了可靠性的定量分析,并根据分析结果提出了一些提高供应链可靠性的措施[5].在文献[6]中作者通过分析供应链系统的状态之间的转移关系,引入补充变量,用补充变量法[7],建立了供应链系统的可靠性模型,并对该模型系统解的存在唯一性进行讨论和证明.在文献[8]中当修复率为常数时讨论系统解的渐近性质.本文在文献[6]的基础上当修复率为函数时,通过研究相应算子的谱的特征得到该系统时间依赖解的渐近行为.

2 供应链系统模型的转换

由文献[6]知道,该供应链系统的数学模型用以下方程组描述:

其中(x,t)∈[0,∞)×[0,∞);p0(t)表示在时刻t供应链系统正常运作的概率;pi(x,t)dx(i=1,2,3,4)表示在时刻t供应链系统处于故障状态i(i=1,2,3,4),在该状态已经驻留了x时间,在(x,x+dx]离开故障状态的概率;λi(i=1,2,3,4)是从正常运作状态到状态i(i=1,2,3,4)的失效率;µi(x)(i=1,2,3,4)表示供应链系统离开状态i(i=1,2,3,4)的修复率.

取状态空间为

显然,X是一个Banach空间[9].为简单起见,定义

则可以定义算子Am和它的定义域D(Am)为

选取X的边界空间∂X:=C4,并且定义边界算子L:D(Am)→∂X与Φ:D(Am)→∂X如下:

如果定义算子(A,D(A))为Ap=Amp,D(A)={p∈D(Am)|Lp=Φp},那么方程(2.1)–(2.4)可以描述为Banach空间X上的抽象Cauchy问题:

在文献[6]中作者得到了以下结果.

定理2.1算子(A,D(A))生成一个正压缩C0-半群T(t).系统(2.5)存在唯一的正时间依赖解p(x,t)=T(t)p(0),并且满足

3 系统(2.5)相应算子的谱特征

引理3.10是A的几何重数为1的特征值.

证讨论方程Ap=0,即

解(3.2)有

(3.4)式结合(3.3)式推出

由(3.4)与(3.5)式算出

这说明0是A的特征值.由(3.1),(3.4),(3.5)式知道对应于0的特征向量空间是一维的线性空间,即0的几何重数为1.证毕.

下面研究A的豫解集.为此首先定义算子(A0,D(A0))并研究它的豫解集;其次通过考虑(γI-Am)的核来定义Dirichlet算子Dγ并推出ΦDγ的表达式;然后用文献[10]中的结果得到A的豫解集,从而推出本文的主要结果.

定义算子(A0,D(A0))为

那么对任意y∈X,考虑方程(γI-A0)p=y,这等价于

解(3.6)与(3.7)推出

∀f∈L1[0,∞),若记

那么(3.9)与(3.10)式变为

即

由上述表达式和豫解集的定义可得以下结论.

引理3.2设µi(x):[0,∞)→[0,∞)(i=1,2,3,4)是可测函数,若

证对任意的f∈L1[0,∞)用分部积分法估计出

此式说明引理的结论成立.证毕.

引理3.3设µi(x)(i=1,2,3,4)是可测函数,且

若γ∈ρ(A0),则

证如果p∈ker(γI-Am),则(γI-Am)p=0,这等价于

解(3.15)推出

将(3.16)式代入(3.14)式算出

由于p∈ker(γI-Am),p∈D(Am),所以用嵌入定理[11]得到

(3.16)–(3.18)式说明(3.12)与(3.13)式成立.

反之,如果(3.12),(3.13)式成立,则有

由(3.13)式知道

从而有

(3.19)与(3.20)式表示p∈ker(γI-Am).证毕.

由于L是满射,所以

可逆.如果γ∈ρ(A0),那么定义Dirichlet算子为

由引理3.3知道Dγ的具体表达式为

其中αi=i=1,2,3,4.

由Dγ的表达式和Φ的定义推出ΦDγ的表达式

这里εij=dx,i,j=1,2,3,4.

在文献[10]中作者得到以下结果.

引理3.4设γ∈ρ(A0)且存在γ0∈C使得则

结合引理3.4与文献[12]得到如下结论:

引理3.5设µi(x)(i=1,2,3,4)是可测函数,若

那么在虚轴上除了0外其他所有点都属于A的豫解集.

证设＜∞(k=1,2,3,4),并且γ=ih,h∈R{0}.由 Riemann-Lebesgue引理

知道存在非负常数K＞0使得对一切|h|＞K有

(3.23)式表明当|h|＞K时谱半径r(ΦDγ)＜‖ΦDγ‖＜1,这说明1此结果结合引理3.4知道当|h|＞K时有即

另外由定理2.1与文献[12]中的推论2.3知道σ(A)∩iR是虚加法循环.即

从而由(3.24),(3.25)式与引理3.1推出σ(A)∩iR={0}.证毕.

由文献[13]知道X的共轭空间为

容易证明X∗是一个Banach空间[7].根据文献[8]知道A的共轭算子A∗为

其中

下面证明0是A∗的几何重数为1的特征值.

引理3.60是A∗的几何重数为1的特征值.

证考虑方程A∗q∗=0,即

解(3.27)有

(3.30)式代入(3.29)式可得

(3.31)式表明

即0是A∗的特征值.由(3.31)式看出对应于0的特征向量空间是1维的.换句话说,0的几何重数为1.证毕.

4 系统(2.5)时间依赖解的渐近行为

结合定理2.1,引理3.1,引理3.5,引理3.6与文献[14]中的定理14推出本文的主要结论.

定理4.1设µi(x)(i=1,2,3,4)是可测函数,且满足

则系统(2.5)的时间依赖解强收敛于该系统的稳态解,即

其中p(x)是引理3.1中的特征向量.

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ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF THE TIME-DEPENDENT SOLUTION OF THE RELIABILITY MODEL FOR THE SUPPLY CHAIN

ALIM Mijit
(School of Distance Education,Xinjiang Radio&TV University,Urumqi 830049,China)

We study the time-dependent solution of the reliability model for the supply chain system.By using C0-semigroup theory we study the spectral properties of the underlying operator corresponding to the system model and obtain the asymptotic behavior of the time-dependent solution of the system,which extends the results in[8].

supply chain system;eigenvalue;resolvent set;geometric multiplicity

tion:47A10;47N20

O177.7

A

0255-7797(2017)01-0201-10

2014-04-23接收日期:2014-11-24

新疆少数民族科技人才特殊培养计划科研项目资助(2016D0211).

阿力木·米吉提(1978–),男,维吾尔族,新疆阿克陶,副教授,主要研究方向:可靠性模型的动态分析.