曲杆单元铰接单层网壳弹塑性后屈曲分析

刘树堂　朱文正

摘要：基于曲杆单元应力弦长关系和矩阵微分理论，推导出曲杆单元在弹性与弹塑性状态下的切线刚度矩阵精确公式。研究构件取理想弹塑性材料，结构支座取固定铰支座和可动铰支座2种约束情况，考虑构件具有初弯曲，采用曲杆单元切线刚度矩阵和广义位移控制法，取结构自重为参考荷载，对节点铰接的K8大跨单层网壳结构进行弹塑性后屈曲分析。结果表明：曲杆单元切线刚度矩阵公式精确性很高，可有效用于大型铰接单层网壳弹塑性后屈曲分析。

关键词：曲杆单元；切线刚度矩阵；单层网壳；后屈曲分析；弹塑性屈曲；广义位移控制法

中图分类号：TU393.3文献标志码：A

Abstract： The accurate tangent stiffness matrix formula of curved lever unit at elastic and elasticplastic states was derived based on stresschord length relation and matrix differential theory. The research component was ideal elastic plastic material. The structure support included 2 kinds of constraint conditions of the fixed hinge support and the movable hinge support. The initial bending of the component was considered， the tangent stiffness matrix of curved lever unit and the generalized displacement control method were adopted， and the structure weight was taken as the reference load. The elastic and plastic postbuckling analysis of K8 largespan single layer reticulated shell structures was carried out. The results show that the tangent stiffness matrix of curved lever unit is accurate， and can be used to the elasticplastic postbuckling analysis of large hinged single layer reticulated shells.

Key words： curved lever unit； tangent stiffness matrix； singlelayer reticulated shell； postbuckling analysis； elasticplastic buckling； generalized displacement control method

0引言

单层网壳结构力学性能好、重量轻、造型优美，在大型体育场馆屋盖结构中得到广泛应用。从20世纪60年代以来，关于单层网壳结构稳定性及极限荷载的研究一直备受关注，已开展了大量理论与试验研究。单层网壳结构矢跨比较小，构件长细比较大，在垂直荷载作用下结构几何非线性特别显著，往往在构件还没有屈服时结构就发生失稳破坏。目前在单层网壳结构极限荷载分析中，构件力学特性常用直杆单元来模拟，因为直杆单元的应力应变关系简单，易于完成结构极限荷载分析。然而，实际构件并非直杆，其在轧制、加工制作、运输和安装等机械作用过程中已产生微小初弯曲，基于直杆单元的结构极限荷载分析忽略了构件初弯曲对极限荷载降低的影响。研究表明，构件初弯曲虽小，但对构件的受压刚度及极限压应力影响较大，特别是对于长细比较大的构件。

为了考虑构件弯曲效应对结构稳定性及极限荷载的影响，研究者们对于构件弯曲效应提出了各种应力应变本构关系模型。Yang等[1]基于矩形截面构件，假设构件两端铰接和构件受压时的轴线方程为正弦半波函数，根据构件中点截面轴向应力及应变与横向挠度的关系得到了矩形截面构件受压弯曲时轴向应力变形关系，并基于构件纯弯受力状态，建立了构件卸压再拉状态的轴向应力变形关系。Liew等[2]基于曲杆轴线为正弦半波函数，建立了弹性状态曲杆轴向变形Δ与杆中点挠度δ的关系，得到了弹性状态曲杆轴压力P与Δ的关系式。在塑性受压状态，假设曲杆中点突然弯折而形成塑性铰，得到塑性状态曲杆轴压力P与Δ的关系式。Hill等[3]基于应力应变关系的经验方程提出了曲杆单元经验本构关系，弹性状态为斜直线，弹塑性状态为水平线，屈曲后状态为曲线，该模型可用于结构后屈曲分析，通过调整参数可考虑各种长细比构件的弯曲效应。Chan等[4]假设构件轴线初弯曲形状为正弦半波函数，由截面力矩平衡微分方程推导出了梁柱单元杆端力杆端位移本构关系模型，按照结构总势能函数二阶变分导出了初弯曲梁柱单元的切线刚度矩阵。李国强等[5]对于梁单元假设轴线为正弦半波函数，并考虑轴力、剪切变形、初弯曲和弓形效应的影响，建立了梁单元应力应变本构关系。吴香国等[6]基于对Shanley模型的改进，推导了不完善轴心受压构件轴压力中点挠度的函数关系。范峰等[78]基于多段梁法模拟曲杆单元，通过一致缺陷模态法引入构件初弯曲，采用ANSYS软件研究网壳结构的弹塑性与稳定性。周臻等[9]假设曲杆轴线为正弦半波函数和基于杆件中点截面力矩平衡微分方程，建立了曲杆单元轴向应力应变本构关系，并采用轴力对轴向位移的导数建立了曲杆单元的切线刚度矩阵。同时对于梁单元考虑弯矩扭矩一阶效应、轴力二阶效应及梁单元大变形小应变，忽略剪切变形和翘曲影响，建立了梁单元杆端力杆端位移本构关系，并通过矩阵微分方法建立了梁单元切线刚度矩阵。刘树堂等[10]基于曲杆轴线为正弦半波函数和零态弧长不变原理，得到了曲杆中点挠度弦长关系，根据曲杆中点截面力矩平衡微分方程和塑性铰方程，建立了曲杆弹性受压、弹塑性受压、塑性铰受压、受压卸载、弹性受拉、塑性铰受拉及受拉卸载等受力状态的应力弦长本构关系。

在结构弹塑性屈曲分析中，荷载位移平衡路径需要由单元切线刚度矩阵来预测，单元切线刚度矩阵的精确与否对于有效完成结构弹塑性屈曲分析起着关键性作用，特别是对于非线性很强的结构系统[11]。目前，建立单元切线刚度矩阵的方法主要有势能变分法和矩阵微分法，势能变分法应用较多[1213]，矩阵微分法应用较少。尽管势能变分法应用较多，但却存在着明显不足，采用势能变分法建立单元切线刚度矩阵需要略去式中一些高阶项，导致切线刚度矩阵精确度降低，以至于不能完成强非线性的屈曲后阶段预测。然而，采用矩阵微分法建立单元切线刚度矩阵无需忽略任何高阶项，所得到的单元切线刚度矩阵公式即是精确的，它能够有效完成强非线性的屈曲后阶段预测任务[1415]。对于直杆单元，基于矩阵微分法已成功建立了单元切线刚度矩阵公式[14]，并应用于直杆单元结构弹塑性后屈曲分析。对于曲杆单元，其单元切线刚度矩阵建立方法还未见报道。

为了有效完成曲杆单元铰接单层网壳弹塑性后屈曲分析，本文基于文献[10]曲杆单元应力应变本构关系模型，采用矩阵微分法建立曲杆单元各种受力状态下的单元切线刚度矩阵。利用本文曲杆单元切线刚度矩阵，基于广义位移控制法（GDC）[11]，对跨度为64.866 m的K8铰接单层网壳结构进行弹塑性后屈曲分析。

1曲杆单元受力阶段及其应力应变曲线当曲杆经历受压→卸压→受拉→卸拉受力过程时，曲杆平均应力弦线应变曲线如图1所示，其中，OA为弹性受压阶段，AB为弹塑性受压阶段，BC为塑性铰受压阶段，CD为卸压再拉阶段，DE为塑性铰受拉阶段，EF为屈服受拉阶段，FG为卸拉阶段。对于曲杆单元，当曲杆经历受拉→卸拉→受压→卸压受力过程时，曲杆平均应力弦线应变曲线如图2所示，其中，op为弹性受拉阶段，pq为塑性铰受拉阶段，qr为屈服受拉阶段，rs为卸拉再压阶段，st为弹塑性受压阶段，tu为塑性铰受压阶段，uv为卸压阶段。

在弹性受拉和弹性受压阶段，曲杆材料处于弹性状态，该阶段的极限状态为曲杆中点截面较大受拉边缘或较大受压边缘达到屈服应力。在塑性铰受拉、塑性铰受压阶段，曲杆中点截面形成了塑性铰，该截面弯矩始终等于塑性铰弯矩。卸压再拉阶段是指曲杆从弹塑性受压或塑性铰受压状态卸载到零态，再从零态受拉达到曲杆中点截面较大受拉边缘屈服的受力阶段。卸拉再压阶段是指曲杆从塑性铰受拉或屈服受拉状态卸载到零态，再从零态受压达到曲杆中点截面较大受压边缘屈服的受力阶段。在卸压再拉和卸拉再压阶段，曲杆材料处于弹性状态。曲杆经历弹塑性受压阶段、塑性铰受拉、受压阶段时，曲杆零态弦长l0和中点挠度δ0均发生很大改变，但零态弧长s0不变。在屈服受拉阶段，曲杆应力始终等于材料屈服应力，但其零态弧长s0产生塑性伸长。

由图5，6还可以看出，荷载位移平衡路径具有很长后屈曲段。这说明本文曲杆单元切线刚度矩阵具有较高精度，这对于有效完成大型铰接单层网壳弹塑性后屈曲分析具有重要意义。

为了考察构件初弯曲对结构极限荷载的影响程度，绘制出结构极限荷载因子构件初弯曲曲线，如图7所示。由图7可以看出，当结构支座为可动铰支座时，结构极限荷载显著降低，比固定铰支座情况降低约46%。这说明结构支座刚度变化对单层网壳结构极限荷载的影响比较大。为提高单层网壳结构极限荷载，可从两方面采取措施：①提高单层网壳结构的支座刚度和下部支承结构的水平刚度；②提高最外环环向构件的抗拉刚度。

由图7还可以看出：构件初弯曲越大，结构极限荷载越低；构件初弯曲对固定铰支座结构极限荷载影响较大，对可动铰支座结构极限荷载影响较小。

本文算例分析耗时为207 s，说明本文方法求解速度比较快。5结语

（1）基于矩阵微分法建立曲杆单元切线刚度矩阵无需忽略任何高阶项，本文曲杆单元切线刚度矩阵公式是精确的。

（2）铰接单层网壳构件初弯曲越大，结构极限荷载越小。

（3）支座刚度对铰接单层网壳结构极限荷载影响很大。构件初弯曲对固定铰支座结构极限荷载影响较大，对可动铰支座结构极限荷载影响较小。

（4）本文曲杆单元切线刚度矩阵可有效完成大型铰接单层网壳弹塑性后屈曲分析。

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