交运算的连续性和重合点的通有稳定性

左勇华　卢美华

摘要建立了全新的集合族空间， 讨论了公共元的通有稳定性， 得到了闭集族空间上的交运算在Hausdorff拓扑下的上半连续性，并研究了重合点的通有稳定性.

关键词集合族空间； 公共元； 重合点

中图分类号 文献标识码A

AbstractA familyofset space was established，and its common elements generic stability was studied. The upper semicontinuity of operation of sets intersection in familyofclosedset space was obtained，and the generic stability of coincident pointis was studied.

Key wordsfamilyofset space；common elements；coincident point

1引言

社会经济系统是一个开放的系统，会受到外部环境的影响，故而经济决策科学中稳定性研究是一个重要方面.博弈论发源于数学理论，近年来博弈论的广泛应用已经全面改写了微观经济学[18]，然而由于均衡概念存在一些不完美性，均衡点的精炼和选择一直是博弈理论本身研究的核心主题，由此在数理方法上发展了一系列基础方法，稳定性研究是其中最重要的方法.集值拓扑方法关于通有稳定性的研究自1950年Fort的开创性结果以来，在不动点、Ky Fan点、KKM点、Nash平衡点以及重合点获得了广泛而优美的结论.近期仍然有一些新的结果出现， 陈剑尘、龚循华[6]、贾文生、向淑文[7] 、高静、邬冬华、张广[8]、杨光惠、向淑文[9]、左勇华[10] 、张德金[11].重合点一系列的性质也由俞建[12-14] 、朴勇杰[15]、徐文清、朱传喜、吴照奇[16]等进行了深入的研究，特别是重合点的稳定性质.虽然通有稳定性的研究具有极其丰富的内容，但通有稳定的本质是什么，并没有太多文献予以揭示.从集空间公共元的通有稳定性出发，把重合点转化的交运算的形式，获得重合点通有稳定性的结果，这就从一个侧面揭示了通有稳定的本质，从而为通有稳定性提供一个判决性方法；在拓扑层面上，对于通有稳定的判定将更加顺畅，在应用问题上，对于判断通有稳定和相关概念的可接受性也更为便利.

2预备知识及符号说明

设（X，d）是一度量空间， CL（X）为X的全体非空闭子集，K（X）为全体非空紧子集，2X为幂集.x∈X，AX及，称A+ε={x∈X|a∈A，d（a，x）<ε}为A的ε扩张，A，B∈CL（X），定义Hd（A，B）=inf {ε|AB+ε，BA+ε}.这样建立了Hausdorff度量空间（CL（X），Hd），称为集合族空间（集族空间）. 显然（CL（X），Hd）完备当且仅当（X，d）完备，K（X）在（CL（X），Hd）中闭.

定义1X，Y均为拓扑空间， F：X→2Y为集值映射， x0为X中的一点. 称F在x0上半连续， 若Y中任何一个F（x0）开邻域u，x0邻域v， x′∈v有F（x′）u.F在X中每一点都上半连续， 则称F在X上上半连续；

引理1X为拓扑空间， Y为度量空间， F：X→2Y上半连续且非空紧值（即usco映射）， 则存在X的稠密剩余集Q， 使F在Q上半连续从而连续[3]. （本引理为著名的Fort定理）

3主要结果

此文中度量空间上生成集族空间拓扑均为Hausdorff度量生成的Hausdorff拓扑.显然，在ε收敛于0时，紧度量空间的任意有限个交非空A1，A2，…，Ak∈CL（X），它们的ε扩张的交收敛于本身交集.但非紧空间中此结论未必成立.由此，左勇华2012年证明了引理2.

1即可证明以下定理.

定理3存在YI的一个稠密剩余集Q， 使得FI：YI→2X在Q上连续.

定理说明集族空间（YI，ρI）上公共元是通有稳定的，紧空间上集族空间交运算虽然不是连续运算， 但在绝大多数点上是上半连续的，在Baire意义下绝大多数的情形是连续的. 事实上，交运算的上半连续性是通有稳定性的一个本质特征，一些重要的通有稳定性总可以能否通过转化为集族的交而得到判断.例如，不动点、 Fanky点、KKM点、Nash平衡点的通有稳定性具有许多结果，而本质上，这些通有稳定性都可以通过转化为集族的交而得以保证.当然，在转化过程中，需要构造从一般性问题空间到集族空间的映射，某些情况下这个映射未必连续，为此考虑半连续情况.

设问题集M为完备度量空间，集值映射F：M→2X为问题解映射，考虑单射L：M→YI，称L在点h∈M是半连续的，若ε>0，δ>0，当h′∈h+δ（记L（h′）=β′αα∈I，L（h）=βαα∈I），对任何α∈I均有β′αβα+ε.称L在M半连续，若L在M的每一点都半连续.显然，若问题空间M到集族空间YI的但值映射连续，必然半连续，一般在重合点的情形下的连续性能得以保障，但也可能因嵌入的拓扑结构不同而存在差异，而且重合点解映射并不单单是问题空间到集族空间的映射和公共元映射合成，所以集族空间构造有特色.

4重合点的通有稳定性集族空间刻画

重合点是非线性分析研究的重要内容， 近期朴勇杰在广义凸空间研究重合点与几乎不动点定理、不动点定理之间的关系；徐文清、朱传喜、吴照奇在半序度量空间研究了混合g-单调映射的四元重合点定理及其应用.下面讨论重合点的通有稳定性，采用文献[1]中K.K.Tan，J.Yu，X.Z.Yuan研究重合点通有稳定性的框架.问题在于重合点的解映射不能仅仅表示为从问题空间到集族空间上的映射和公共元映射的合成.

4结语

定理4说明重合点是通有稳定的，文献[1]框架下重合点的通有稳定性可以转化为集族空间的公共元通有稳定性.当然，对集族空间进一步研究，一方面，可以赋予指标集以拓扑结构，这将有更强的结论；另一方面，可以减弱对指标集的要求，直至去掉指标集，这样将使集合族空间有更广泛的应用.而通过运用交运算的方法研究通有稳定性，进而判断现实问题中模型构造和相关解概念构造的合理性也来得更为便利.就应用而言，纯粹数学理论上，截口定理、FanKy不等是在交运算上和重合点密切相关.重合点的通有稳定性在决策理论和实际经济系统中具有很强的应用背景，关洪岩在一定的条件卜的拓扑空间中建立了几个两对映射及只个映射的公共重合点定理作为应用，研究了一类起源于动态规划的泛函方程组公共解的存在性问题[17].当然，重合点在实际问题的应用中并非以严格的数学形式出现，刘少赓以成本重合点分析成本分界点，在两个以上不同备选方案总成本相等时的产销量，特别是区分长期、短期决策差异.在短期经营决策分析时，不同备选方案的总成本和成本结构存在着一定的差异，测算产销量在一定水平时，不同备选方案总成本相等的产销量称为成本重合点，它反映了成本和销售之间的依存关系.这在现实的决策中具有重要意义，虽然这些成本重合点未必是严格的集值拓扑重合点的形式.

参考文献

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