一类有理函数的中性周期点邻近的动力学性质

铁勇

有理函数的有理中性周期点的内容是复分析动力系统中一个重要的研究内容。该文通过分析有理函数的有理中性周期点邻近结构的三个不同的性质，给出了详细的证明方法，这对研究和推广有理函数的周期点邻近结构的性质提供了一定的理论和证明依据。

有理函数中性周期点动力学性质

1引言

有理函数的有理中性周期点作为复分析动力学中的重要内容，对研究其邻近的结构性质有一定的理论意义。而有关有理函数的有理中性周期点的的不同性质一直是复分析研究的重点问题。但是关于性质的研究及推广是一个值得研究的焦点。本文通过分析有理函数的有理中性周期点邻近结构的三个不同的性质，给出了详细的证明方法，这对研究和推广有理函数的周期点邻近结构的性质提供了一定的理论和证明依据，也为复分析动力学的周期性问题的深入探讨起到了很好的促进作用。

2有理函数的中性周期点邻近的性质

性质1：对于degR≥2的有理函数R的有理中性周期轨道包含于J（R）。

证明：设ξ1，…，ξp为R的有理中性周期轨道，则对于ξ∈ξ1，…，ξp，有Rpξ=ξ且Rp'ξ是1的某次（设为K次）根，不妨设ξ=0，则Rpz=az+bzr+…，（b≠0，r为≥2的某一自然数），令Sz=Rpkz，则S（z）=akz+o（z2），S（0）=z+czq+…（c≠0，q为≥2的某一自然数），再次由归纳法得（Sn（z））q（0）=nc·q！→∞，ξ=0∈J（R）.

性质2 ：ⅰgππ； ⅱRegnz→∞n→∞，z∈w；ⅲg：π→∏共形共轭于一个平移变换。

分析论证：设w=x+iygw=u+iv， Aw+θw=a+bi，对于w∈π，有w>κ， u=x+p+a， v=y+b，进而有 v2-4κκ-μ≥4κp-4κp+4κa，又由于2by+4κa≤6w·a+bi=6x2+y2·a2+b2≤6A+B<2κ<4κp，即gππ成立。

证明ⅱ：令 π0=σ-1π，由此可见fπ0π，以下只须说明对充分小的t，σ-1t就是花瓣，设z=Yeiθz∈S，1zθ=σz=w=ρeiφw∈W，从而有ρ=1rp，φ=-ρθ，由极坐标有π=ρeiφ：2κ<ρ1+cosφ，进而有π0=σ-1πρeiθ：2κ<1rp1+cosρθ=reiθ：rp<12κ1+cosρθ，其中，t=12κ。

由上述证明的（i）和（iii）可得到g：π→∏共形共轭于一个平移变换。

性质3：若R是degR≥2的有理函数，F0是F关于R的完全不变分支，则F0既是单连通，又是无限连通的。

证明：设F0的余集D∞-F0有C个分支E1，…Ec，其中，1≤C≤+∞，且D∞-F0=∪Cj=1Ej，由F0是F关于R的完全不变分支，可推知∪Cj=1Ej为R的完全不变集，因此，存在充分大的自然数m，使得每一个Ej是Rm下的完全不变集，又因为J（R）=∪Cj=1Ej，且J（R）有无限个点；因此，存在j*∈{1，2，…，C}，使得Ej*有无限个点，再由J（Rm）的极小性可得到J（Rm）Ej*，而J（Rm）=J（R），另一方面，显然有Ej*J（Rm），因此可得到Ej*=J（Rm），又可知每个Ej与J（R）都是相交的；故D∞-F0只有一个分支E1，因此，F0是单连通的。参考文献：

[1]阿姆斯特朗.基础拓扑学[M].北京：人民邮电出版社，2010.132-133.

[2]吕以辇.复解析动力系统[M].北京：科学出版社，1997.71-72.