教学楼紧急疏散问题的数学模型

罗问哲

摘 要：本文针对某高中一教学楼在紧急情况下学生的疏散问题，采用数学建模的思想，在合理的假设下建立了疏散模型，并计算出安全疏散的最短时间，以此达到最短时间最快进行疏散。

关键词：教学楼；紧急疏散；数学模型

中图分类号：O175文献标志码：A文章编号：2095-9214（2016）12-0258-02

一、问题重述

学校人口十分密集而中学生在日常生活中很少遇见应急状况。当应急情况发生时，中学生很少能够保持镇定。所以我们应该未雨绸缪，提前制定出疏散方案，从而尽可能减少人员损失提高疏散效率。

某高中教学楼一共有三层，每层楼含三个教室，一个厕所，两个办公室，通过实际测量，每层楼高4.6米，两边各有楼道一个，平面图如图1所示。本文针对教学楼的以上特点，提出几种疏散模型，发现逃生时间与速度及其他变量的关系，从而指导学生在最短时间内，疏散到安全地带。

二、模型假设

（1）整栋教学楼共有495名师生，其中所有教室都是满的，假设每个教室里人数为55人（含一位老师），每个办公室里无人。

（2）假设每个人的行走能力相同即疏散速度相同，且有序疏散。

（3）人与人之间间距相等，厚度相同。

（4）师生从指定出口（或消防安全出口）到操场指定位置，所用时间为常数。

（5）每位师生均处于清醒状态，且疏散过程中没有摔倒、停留、沿途返回的情况。

三、符号设定

四、问题分析

由假设（3）可知，每个人之间的间距与厚度是相同的，为p+q，假设每一个台阶上有一人向下逃离，且半层楼共用13级台阶，如图2所示。

根据楼梯台阶测量数据，看计算楼梯水平长

S楼2-h2=62-2.32=5.54米

所以可得

p+q=2×S楼2-h213=2×5.5413≈0.83米.

五、疏散时间模型的建立

（一）合理分流式疏散

由该校的楼层平面图可知，两个教室均处于靠右出口的位置。右边两个教室都可以从右出口逃生。但学生如果只从一个门出教室必定会造成拥堵，且浪费时间，所以应从每个教室的前后门分流出教室。

假设分别从左边第一教室的左右门出门人数为k1，k2，如图3所示。若想要同时完成疏散，则出门时间相同。则从左门与右门疏散的人数k1，k2，满足下列关系式

k1+k2=55（k1-1）（p-q）=（k2-1）（p-q）+d-d门p+q=0.83d=9d门=1.5（1）

化简上述关系式，可得

k1-k2=9k1+2=55（2）

上述关系式表明从左门至少应安排9人疏散，这样才不会浪费时间，解得

k1=32，k2=23

同理可计算出第二、三教室中从左门与右门疏散的人数与第一教室相同。

（二）各楼层疏散模型

通过实测可以知道，一楼各教室门口直接与操场相连。所以每门疏散人员数可相等，所以一楼疏散完全所用时间为

t1=1V人K2-1（p+q）+T（3）

对于二楼的疏散，由实际疏散情况我们可以知道，可分为等待与不等待两种情况。

等待状态模型从右边第三教室左门的第一人到达右门时，右门的同学还未疏散完毕，即k2>9人时，

t2′=1V人K2-1（p+q）+T（4）

不等待状态模型：当k2>9人，

t2″=1V人（2K-1）（p+q）+2S楼V人+T（5）

所以可以得到若d-d门>p+q，就有t2″>t2′，现在可知d-d门=7.5米，而根据文献可得p+q[0.5，2.5]。所以由此可得只要满足了k2>9人，则等待条件成立，所以疏散时间最短

t2min=t2′（6）

三楼人员的疏散模型为

T3=t2min+T3min（7）

等待状态模型当第三层楼的同学跑到二楼时，发现二楼的同学还未疏散完毕，等待模型为

T3=t2′+t3′=t2′+1V人+（2K+K1）（p+q）.（8）

将（4）式代入（8）式可得

T3=1V人（4K+2K1-1）（p+q）+2S楼V人+T（9）

等待条件为

2S楼<（2K-1+K1）（p+q）.（10）

不等待状态模型即三楼同学可以顺利通畅地跑到安全位置。

所以不等待状态模型为：

T3=t2′+t3″=t2′+1V人（2K+K1-1）（p+q）+2S楼V人（11）

将（4）式代入（11）式可得

T3=1V人（4K+2K1-2）（p+q）+4S楼V人+T（12）

不等待状态模型的成立条件为：

2S楼（2K-1+K1）（p+q）（13）

以上分流方式为较为合理的分流方式，但还可以进行优化。

（三）疏散模型的优化

由于p+q与V人为变量。对（p+q）∈[1.0，2.5]上取出5个数值进行计算，得到各自对应的速度v。其结果如下表：

从而得到p+q与V人为一次函数关系，所以无法通过调整数值大小进行优化，所以为2分56秒。

为了更加节省时间，假设楼道上同时方便3人行走，为了方便奔走，人与人之间应留出更多的空间，由文献【1】的启发，应该按照下图“品”字方式进行疏散，如图4所示。

如上图所示，我们将每三个人划分为一个单位，将这样的模型称作“品”字模型，必要条件为：

2p+q

实际上，2p+q<2（p+q）=2×0.83=1.66

二、三楼由于楼道宽度不够，所以只能2人并排行走，但走到了楼梯口由于楼梯口变宽，所以到楼梯口后可由2人并排行走改为“品”字行走模式，由三楼跑到二楼所用时间△t=2S楼V人，二楼到一楼时间同样为△t。

分别取3个V的值，可计算出疏散时间

T3=1V人+（4K+2K1-2）（p+q）+4S楼3V人+T

由此得出T3=155+5+5=165秒，所以优化后时间缩短为2分45秒。

由合理分流模型计算出的时间与“品”字模型计算出的时间比较。在相同的厚度、间距与行走速度下。可得出“品”字模型与分流模型结合可得到最佳疏散方案。

六、合理建议

1、由于学校人口密集，所以每个学校都应该制定出合理的疏散计划，以便防患于未然，能更加安全地面对紧急情况的发生。

2、每班的老师应主动组织学生进行疏散，从而使疏散更加有效。

3、每位靠近出口的同学应就近疏散，以减少疏散时间。

4、每位同学到楼梯口时，应主动自觉按照“品字模型进行疏散。

5、每位同学应服从老师的安排、管理，不能慌乱，要有序疏散。

（作者单位：成都棠湖外国语学校）

参考文献：

[1]吕雷，程远平，王婕，对学校教学楼疏散人数及疏散速度的调查研究[J].安全，2006（1）.

[2]刘绚，孙育英，等.某高校教学楼人员疏散优化研究[J].消防科学与技术，2011，30（12）：1121-1124.

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[4]李彩娟，张新.有效疏散指挥下教学楼人员紧急疏散数学模型探讨[J].河北建筑工程学院学报，2013，31（2）：118-120.

[5]陈丹，曾文霞，等.大学教学楼人员疏散策略研究[J].价值工程，2015，34（35）：149-151.

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