基于FRFT窄带滤波的LFM信号研究*

王瑜，李小波，周青松，黄中瑞

（电子工程学院，合肥230037）

基于FRFT窄带滤波的LFM信号研究*

王瑜，李小波，周青松，黄中瑞

（电子工程学院，合肥230037）

随着分数阶傅里叶变换域窄带滤波技术的不断应用与发展，对分数阶域窄带滤波带宽的研究将变得尤为重要。研究了分数阶傅里叶变换域窄带滤波带宽与滤波后信号之间的关系，并以信号的失真度为准则，分析了分数阶域窄带滤波带宽的临界值。理论分析和仿真结果表明：线性调频信号经过分数阶域窄带滤波后信号的相位没有发生改变，信号的幅度为辛克函数积分的形式。为保证LFM信号频率信息不丢失，分数阶域窄带滤波的带宽必须不小于LFM信号在分数阶域幅度谱的主瓣宽度。为分数阶域滤波带宽的选取提供了参考标准。

分数阶域窄带滤波，线性调频信号

0 引言

近年来随着分数阶傅里叶变换（Fractional Fourier Transform，FRFT）技术的不断应用和发展，其对线性调频信号的独特性质在雷达领域越来越受到人们的重视［1-2］。线性调频信号是雷达常用的信号样式，见文献［3-6］。

然而，以上均未研究经分数阶域窄带滤波的信号其幅度，相位是否发生变化以及合适的分数阶域窄带滤波带宽的选取标准。

本文研究了分数阶傅里叶变换域窄带滤波带宽与滤波后信号之间的关系，并分析得出了分数阶域窄带滤波带宽的最小值为LFM信号在分数阶域幅度谱的主瓣宽度。

1 分数阶傅里叶变换

1.1 分数阶傅里叶变换的定义

分数阶傅里叶变换是一种重要的时频分析工具，是傅里叶变换的一种广义形式，信号的分数阶傅里叶变换可以解释为信号在时频平面内绕原点旋转任意角度后所构成的分数阶傅里叶域上的表示。x（t）的p阶FRFT是一个线性积分运算：

其中，p表示信号FRFT的阶数，Kp（t，u）称为FRFT的核函数。其表达式为：

1.2 LFM信号的FRFT幅度谱

设发射的LFM信号为：

f0为载频，k为线性调频信号斜率，φ为信号的初始相位。rect（t/T）表示为脉宽为T的矩形脉冲。其分数阶傅里叶变换的表达式为：

而k=-cotα，将式（4）带入式（5）得：

2 分数阶域窄带滤波

2.1 分数阶域滤波带宽对信号的影响

而（α，u0）为分数阶域的峰值点，为信号时延，2u1为分数阶域的窄带滤波带宽。对式（8）进行分数阶逆变换，则：

其中：

由卷积表达式可交换卷积顺序，则：

2.2 分数阶域的滤波带宽的选取

对式（4）的信号进行任意阶分数阶傅里叶变换得：

从式（16）可以看出信号Sp+1（u）为复正弦信号。

图1 分数阶域的时频表示

为了更加直观地理解，图1为信号在分数阶域的时频表示。由图1可得其信号Sp+1（v）的脉宽为，而由分数阶傅里叶的性质可知图1的p域上的信号S（pu）可以看成是Sp+（1v）的频谱，由文献［6］可知对于有限长的单频信号其脉宽为对应带宽为1/，因为Sp+（1v）信号脉宽为。所以，Sp（u）的带宽为，为使信号不严重失真，必须保证带宽内的信号不损失，所以分数阶域窄带滤波带宽必须不小于Sp（u）的带宽，即，对应于原时域信号而言，只有分数阶域滤波带宽u1≥时，原LFM信号带宽内的主要频率信息不会丢失，信号的失真小。由此可知，保证信号不严重失真，分数阶域滤波带宽必须不小于LFM信号的分数阶域幅度谱的主瓣宽度即u≥2um。

3 仿真实验

3.1 滤波带宽对信号时域波形的仿真

仿真条件：线性调频信号（LFM）带宽B=1e6Hz，脉宽T=150e-6s，采样率fs=4e6Hz，经过不同分数阶域的窄带滤波带宽u1滤波后再逆变换恢复信号的样式如图2所示：

图2 u1为1 us时恢复信号的波形

图3 u1为1 us时C的包络

图4 u1为10 us时恢复信号的波形

图5 u1为10 us时C的包络

图2和图4分别为采用Ozaktas［8］离散算法分数阶傅里叶变换模拟回波LFM信号经过分数阶域滤波后的波形，图3和图5为公式推导得出的C包络，验证公式推导的正确性，由于采用的是Ozaktas离散分数阶傅里叶变换算法所以理论推导得出C的波形与实际的分数阶域滤波所提取的信号的波形上有所差别。但并不影响公式推导的正确性。从上图可以说明分数阶域窄带滤波带宽越窄，恢复的信号波形失真越大。

3.2 波形失真对脉压的影响

恢复的信号经过匹配滤波z（t）=con v（y（t），s*（-t）），通过分析匹配滤波输出峰值的位置，说明信号失真对脉压的影响，仿真条件如图6所示：

图6 脉压峰值位置的变化曲线

由图6可知，当分数阶域的窄带滤波带宽u1＜um=1e-6时经过脉压后的峰值位置与滤波带宽u1＞um=1e-6时脉压后的峰值位置有所偏差，这也说明了当分数阶域的窄带滤波带宽u1＜um=1e-6时的信号失真较大，导致信号丢失了原有信号的一些频率信息，所以为保证信号不严重失真，分数阶域滤波带宽必须为u1≥um时信号的带宽内的频率信息才不会严重丢失。

4 结论

线性调频信号经过分数阶域窄带滤波后信号的相位没有发生改变，信号的幅度为辛克函数积分的形式。为保证LFM信号频率信息不丢失，分数阶域窄带滤波的带宽必须不小于LFM信号在分数阶域幅度谱的主瓣宽度。为分数阶域滤波带宽的选取提供了参考标准。

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［2］李林.基于分数阶变换的干扰抑制技术［D］.成都：西南交通大学，2006.

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［6］杨卫莉，郭雷，赵天云，等.融合对数极坐标和改进窄带法的图像分割方法［J］.火力与指挥控制，2008，33（2）：8-12.

［7］丁鹭飞，耿富录.雷达原理［M］.3版.西安：西安电子科技大学出版社，2006.

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Study of LFM Signal Based on FRFT Domain Narrowband Filter

WANG Yu，LI Xiao-bo，ZHOU Qing-song，HUANG Zhong-rui
（Electronic Engineering Institute，Hefei 230037，China）

With the application and development of FRFT domain narrowband filter technology，so the study of FRFT domain narrowband filter bandwidth will become particularly important.In this paper the relationship between the FRFT domain narrowband filter bandwidth and the signal after filtering are studied and the fractional domain narrowband filter bandwidth threshold with the signal distortion as a criterion is analyzed.The theoretical analysis and simulation results show：By the FRFT domain narrowband filtering the phase of linear frequency modulation signal has no changing and the amplitude of linear frequency modulation signal is the form of the integration of Sinc function.And In order to ensure the LFM signal frequency information integrity the bandwidth of the fractional domain narrowband filter must be no less than the main lobe width of LFM signal amplitude spectrum in fractional domain and provides a reference standard for the fractional domain filtering bandwidth selection.

FRFT domain narrowband filter，linear frequency modulation signal

TN713

A

1002-0640（2016）12-0041-03

2015-11-09

2015-12-27

国家自然科学基金（61171170）；安徽省自然科学基金资助项目（1408085QF115）

王瑜（1990-），男，黑龙江巴彦人，硕士研究生。研究方向：雷达抗主瓣干扰技术。