两个重要极限及其在求极限中的应用

游斌

摘要：本文主要讨论了高等数学中两个重要极限 ， 的推广式，以及它们在求极限中的应用，使学生快速掌握解决此类求极限问题的思路方法。

关键词：重要极限；应用；方法

高等数学中有两个重要极限公式 ， ，这两个重要极限的变形推广，在求解极限问题时有一些重要应用。

一、第一个重要极限 的推广及应用

1.第一个重要极限的推广式

若 ，则 .

2.应用第一个重要极限求极限需要注意的问题

①推广式中的“ ”可换成“ ”，“ ”，“ ”，“ ”，“ ”；

② 是连续函数；

③此重要极限主要解决含有三角函数的“ ”型未定式极限。

3.求解方法

首先将所求极限变形为“推广式”，然后还原即可得出结果。

4.举例说明

例1.求 .

解：

例2. .

解：

例3.求 .

解：

二、第二个重要极限 的推广及应用

1.第二个重要极限的推广式

若 ，则

2.应用第二个重要极限求极限需要注意的问题

①推广式中的“ ”可换成“ ”，“ ”，“ ”，“ ”，“ ”；

②此重要极限主要解决“ ”型幂指函数的极限。

3.求解方法

一变二配三还原。具体如下：

①将幂底数变形为“ ”形式；②配幂指数：将幂指数配成“ ”；

③还原幂指数：通过加、减、乘、除常数的方法还原幂指数。

注：利用此方法时②③步要一起做，即配完幂指数后要立即还原幂指数。

4.举例说明

例4.求 .

解：

例5.求 .

解：

例6.求 .

解：

例7.求 .

解：

例8.求 .

解：

参考文献：

[1]李心灿.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2003

[2]毕艳丽.高等数学[M].天津：天津大学出版社，2008