考虑桥面不平顺的车桥耦合系统非线性振动

朱素红， 徐 斌

(南昌工程学院 土木与建筑工程学院， 江西 南昌 330099)

考虑桥面不平顺的车桥耦合系统非线性振动

朱素红， 徐 斌

(南昌工程学院 土木与建筑工程学院， 江西 南昌 330099)

以车桥接触处为界，提出了2自由度的1/4车辆模型，应用哈密尔顿能量原理，考虑梁的几何非线性影响，将桥面不平顺模拟成波动的正弦函数曲线，建立了车桥耦合作用下系统的非线性振动方程组。采用伽辽金法和龙格-库塔法求解，得到不平整桥面简支梁桥在车辆运行下的时域响应，探讨了几何非线性、桥面不平顺波长及幅值、车速等参数对车-桥耦合系统非线性振动性能的影响。

车桥耦合； 非线性振动； 桥面不平顺； 龙格-库塔法

0 前言

近年来，车桥耦合作用领域的研究已取得了长足的发展，其中桥面不平顺作为车桥互动体系的激振源之一，成为影响车桥耦合振动响应的一个重要因素。目前国内外对考虑桥面不平顺的车桥耦合振动分析取得了很多成果。文献[1-5]利用功率谱密度函数，用不同级别的桥面平整度模型作为激励源，对车桥耦合系统振动进行了分析，文献[6-8]采用正弦或余弦曲线对桥面平整度进行模拟，分析不平顺因素对系统动态响应的影响。在目前的研究中，对于桥梁本身的非线性因素考虑较少，肖勇刚，朱素红[9，10]利用能量法研究车桥耦合作用下公路桥梁振动响应问题，考虑了简支梁桥的几何非线性影响，但在模拟过程中没有考虑桥面不平顺因素，这就使得研究结论不够精确及缺乏实际指导意义。

为了更深入的研究影响车桥耦合系统振动的因素，本文以哈密尔顿能量原理为基础，将简支梁的几何非线性因素考虑在内，并将桥面不平顺模拟成波动的正弦函数曲线，建立了车桥耦合作用下系统的非线性振动方程组，对车-桥耦合系统非线性振动性能进行研究，数值结果对桥梁的动力设计具有一定的理论指导意义。

1 建立动力方程

车辆本身的运动是比较复杂的，图1将移动车辆简化为两个自由度的车辆模型，不考虑绕各轴的角运动，假定车辆只有竖向跳动，车轮以及悬架的阻尼均与相对速度成线性关系，车轮及悬架的刚度则为位移线函数，Mv和Mw动位移分别为Zv和Zw。

将简支梁桥模拟为一维Euler-Bernoulli梁，即只考虑其弯曲刚度。

假定车辆沿着桥梁长度方向以匀速V移动并且轮胎与梁体表面为点接触，不发生脱离，车轮与桥梁接触处的竖向位移y(x，t)可表示如下：

y(x，t)=w(x，t)+r(x)

(1)

式(1)中：y(x，t)和w(x，t)分别为轮胎与梁体接触点处车轮和桥梁的竖向位移，均以图示(见图1)方向为正；r(x)为轮胎与梁体接触点处桥面不平顺值。

图1 车桥耦合振动模型Figure 1 Coupling vibration of vehicle-bridge mode

若车辆体系以匀速V在梁上通过，以哈密尔顿能量原理为基础，建立如图1所示简化的车桥耦合系统桥梁子系统的动力方程，其中作用在梁上的荷载包括：移动质量的重力和惯性力，即：

(2)

根据文献[11]，对桥梁子系统的动力方程进行变分后整理得到以下的运动方程：

(3)

从上式可以看出：加入简支梁的几何非线性影响因素后，桥梁子系统运动方程增加了第三项作为非线性项。

图1简化的车桥耦合系统中移动质量(包括Mv和Mw)的动力方程：

(4)

(5)

联立式(3)、式(4)、式(5)三个运动方程，将车轮与桥梁接触处的竖向位移式(1)代入，得到考虑几何非线性影响，在桥面不平整条件下车桥耦合系统的动力平衡方程组。

边界条件为：

(6)

2 耦合方程求解

采用伽辽金法对上述非线性动力平衡方程组进行求解。由边界条件式(6)，可以设定解的形函数形式为：

(7)

(8)

(9)

(10)

将式(8)、式(9)和式(10)三个式子联立，得到考虑桥面不平顺因素后，简支梁在移动振动车辆模型作用下系统的非线性动力平衡方程组。这个联立方程组具有无穷多自由度，如果位移级数中取n项，简支梁的广义自由度也将为n个，再加上车辆的两个自由度，运动方程的N+2阶矩阵表达式为：

(11)

[M]=10…0Pvφ1Pwφ101…0Pvφ2Pwφ2︙︙⋱0︙︙00…1PvφnPwφn00…0Mv000…0MvMwéëêêêêêêêêùûúúúúúúúú

[C]=2ξ1ω10…00002ξ2ω2…000︙︙⋱︙︙︙00…2ξnωn0000…0cv-cvcwϕ1cwϕ2…cwϕn0cwéëêêêêêêêêùûúúúúúúúú

[K]=ω210…0000ω22…000︙︙⋱︙︙︙00…ω2n0000…0kv-kvkwϕ1kwϕ2…kwϕn0kwéëêêêêêêêêùûúúúúúúúú

[H]=3A8Iω210…0000ω22…000︙︙⋱︙︙︙00…ω2n0000…00000…000éëêêêêêêêêùûúúúúúúúú

在具体计算中，桥面不平顺值通常采用正弦函数来模拟[7，8]：r(x)=Hsin(ω0x)，其中H和ω0分别为桥面不平顺的幅度和频率，ω0=πv/L0(L0为桥面不平顺的半波长)。

从上式中可以看出：由于考虑了桥梁的几何非线性而增加了非线性矩阵项[H]，由式(11)可知，考虑几何非线性使得结构的刚度有了影响，从而弹簧力呈现非线性。由于车辆在梁上运动，矩阵[M]、 [C]、 [K]中的系数都在不断的变化，成为一个时变系数的二阶非线性微分方程组，一般只能用数值法来求解。本文通过编制Visual-Fortran(RK4.F90)程序，采用四阶龙格—库塔法来求解方程组[9，10]。

3 振动响应及影响因素讨论

忽略梁的几何非线性和桥面不平顺的影响，采用文献[11]中的数据，利用上述方法求解式(11)的运动方程，得到不同速度作用下桥梁跨中的位移响应，结果如图2所示。本文所得计算结果与文献[11]结果基本吻合，说明本文的模型和计算方法是可行的。

采用以下车桥系统参数进行分析讨论：简支梁桥：I=24 m，A=1.0 m2，m=9.36×103 kg/m，I=1.025×10-3 m4，E=1.999 5×1 012 N/m2，，ξ=0.025。车辆系统：Mv=15 670 kg，Mw=2 530 kg，kv=1.8×106 N/m，cv=1×104 Ns/m，kw=3.5×106 N/m，cw=5×103 Ns/m；车辆移动速度V=15 m/s。图3为在分别加入了桥面不平顺和几何非线性影响后，桥梁跨中的竖向位移变化曲线图。从对比曲线可以看出：非线性条件下桥梁跨中最大位移响应比线性条件下相应的位移响应要小些，两种情况下跨中最大竖向位移都出现在移动荷载驶经桥梁跨中前后处，但很明显的是，考虑非线性因素时，移动荷载所处的位置相比线性条件下对应的位置更靠前一点，同时可以看出非线性条件下桥梁跨中的位移波动明显加剧，出现了多个位移峰值。这说明加入了几何非线性影响后，桥梁跨中的最大竖向位移出现时间提前，而且跨中的波动加剧，出现多个位移峰值，加入了桥面不平顺因素后，跨中位移时程曲线变化规律并没有发生根本的改变，但跨中位移波动明显加大。

图2 不同车速下桥梁跨中位移响应Figure 2 Mid-span displacement vs vehicle speed

图3 非线性和不平顺下跨中位移对比Figure 3 Mid-span displacement in nonlinear & roughness

限于篇幅，本文只显示了考虑梁的几何非线性因素后，V=30 m/s车速时不同桥面不平顺下桥梁跨中位移响应，以及同一桥面不平顺下不同车速下桥梁跨中位移响应，如图4～图6。

由图4我们可以看出：桥面不平顺时，桥梁跨中位移围绕其平顺状态下的位移上下波动，不平顺半波长相同的情况下，不平顺幅度H越大，耦合作用对桥梁跨中产生的动挠度越大，但这种增大并不是随不平顺幅度的增大而线性增加的，同时桥梁跨中动挠度的波动越剧烈。由图5可知：桥面不平顺幅度H相同，半波长越大，桥梁跨中动挠度的波动频率有变缓趋势，但动挠度大小变化并不明显。综合图4和图5可知：桥面不平顺对车桥耦合系统的动力性能影响较大，桥面平整度越差，桥梁跨中的最大动位移就越大，波动也越频繁。如果桥面铺装层路况恶化，会给桥梁结构带来很不利的影响，所以在施工中确保桥梁铺装层的质量，在平时的维护中做好桥面的养护工作，为延长桥梁的使用寿命有非常重要的作用。

图4 不同不平顺幅度下跨中位移时程曲线Figure 4 Mid-span displacement vs amplitude

图5 不同不平顺波长下跨中位移时程曲线Figure 5 Mid-span displacement vs wavelength

图6 不同车速时跨中位移时程曲线Figure 6 Mid-span displacement vs vehicle speed

由图6可以得到在同一桥面不平顺状态下，车速增大，桥梁跨中最大响应呈增大趋势，最大响应位置也越靠后，波动频率有所缓解。这是由于速度较低时，部分挠度可以回弹，而高速状态下，桥梁来不及恢复变形，导致动挠度增加，但其与速度的增加并不呈线性关系，从图6可以看出：速度从15～30 m/s，桥梁跨中最大位移也在增加，但在40 m/s时却出现了跨中最大动位移小于30 m/s时的相对应的动位移。因此可以认为：在30～40 m/s之间时，存在至少一个理论上车桥共振点。因此，为确保桥梁安全，应对速度共振点进行监控，防止桥梁出现过大的跳跃。

4 结语

① 考虑了梁的几何非线性因素后，桥梁跨中位移响应变得更加复杂，最大响应出现时间更早，且跨中波动加剧，这种影响对于刚度较柔的长大桥梁更为明显。

② 考虑了桥面不平顺因素后，桥梁跨中位移时程曲线变化规律并没有发生根本的改变，但跨中位移波动明显加大。桥面不平顺幅度越大，跨中动挠度也增大，波动也更剧烈，两者之间呈非线性增大。桥面不平顺半波长越大，跨中动挠度波动频率变缓，动挠度变化不明显。

③ 同一桥面不平顺状态下，车速增大，桥梁跨中最大响应呈增大趋势，最大响应位置也越靠后，波动频率有所缓解。由于存在车桥共振点，应对速度共振点进行监控。

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Nonlinear Dynamic of Vehicle-Bridge Coupled Interaction System Considering Bridge Surface Roughness

ZHU Suhong， XU Bin

(Department of Civil and Building Engineering， Nanchang Institute of Technology， Nanchang， Jiangxi 330099， China)

Vehicle and bridge are separated from two systems，The 1/4 two free degree vehicle model is proposed，Simulated by sinusoid for bridge surface roughness，the systematic nonlinear vibration equations on vehicle-bridge coupled interaction were derived based on the Hamilton principle.The equations were solved by using Galerkin and Runge-Kutta methods，then the time-domain response of the simply-supported beam in bridge surface roughness caused by moving vehicle is obtained.The influence of the nonlinear，wavelength and amplitude of bridge surface roughness，vehicle velocity on vehicle-bridge coupled nonlinear vibration behaves was discussed.

coupling vibration of vehicle-bridge； nonlinear vibration； bridge deck roughness； runge-kutta method

2015 — 09 — 14

国家自然科学基金资助项目(51409140)；江西省教育厅科技项目(GJJ11253)；南昌工程学院青年基金项目(2010kj005)

朱素红(1979 — )，女，湖南双峰人，讲师，硕士，研究方向：桥梁结构振动分析。

U 441+.3

A

1674 — 0610(2016)06 — 0066 — 04