L1空间上的一个新拓扑

李晓燕

(上海电机学院 数理教学部，上海 201306)

L1空间上的一个新拓扑

李晓燕

(上海电机学院 数理教学部，上海 201306)

Zariski拓扑是代数簇研究中使用的一种拓扑。利用傅里叶分析以及算子代数的理论和方法，构造了L1空间上的Zariski拓扑结构。

L1空间； Zariski拓扑； Fourier变换； Banach代数； 理想

1939年，Zariski对代数曲面奇点解消给出了纯代数证明；1944年，他证明特征为0的域上三维代数簇的奇点可解消；1940年他证明了代数簇的局部单值化的存在定理，并引入了Zariski拓扑，使得代数簇成为具有Zariski拓扑的拓扑空间，从而为代数几何引入了日后起重要作用的上同调理论铺平了道路。近年来，Zariski拓扑得到了广泛研究[1-4]，并得到一些有意义的结果。本文给出L1空间上的Zariski拓扑结构。

1 Zariski拓扑

首先引入Zariski拓扑的定义及性质[5-8]，用K表示一个代数闭域，将域K上的仿射空间记作An(K)。

定义1称V(S)是一个代数子集，若它是K[z1,z2,…,zn](n∈N)中多项式的集合S的零点集,即

V(S)=

(a1,a2,…,an)∈An(K)|{f(a1,a2,…,an)=0

∀f(z1,z2,…,zn)∈S}, n∈N

显然，若S⊂S′，则V(S)⊃V(S′)。特别地，对于空集∅，有V(∅)=Kn。

定理1[8]设a是由S生成的理想，则V(S)=V(a)。

定理2[8]可以证明有以下性质：

(1) 若a⊂b，则V(a)⊃V(b)，其中，b是由S生成的理想；

(2)V(0)=An(K)，V(K[z1,z2,…,zn])=∅，(n∈N);

(3)V(ab)=V(a∩b)=V(a)∪V(b)；

性质(2)～(4)表明，将An(K)作为一个拓扑空间，代数子集满足闭集的性质：空集和全集都是闭的，对于有限并运算和任意交运算都封闭。将该种拓扑称为Zariski拓扑。

定义2设任一子集W⊂An(K)，称I(W)为W的理想，若

I(W)= {f∈K[z1,z2,…,zn]|f(P)=0, 所有P∈W}

其中,P为仿射空间的一个点，P∈An(K)。可以得到以下性质：

(1) 若V⊂W，则I(V)⊃I(W)；

(2)I(∅)=K[z1,z2,…,zn]；I(An(K))=0；

(3)I(∪Wi)=∩I(Wi)。

证明

(1) 对任意P∈V，由于V⊂W，故P∈W；取任意f∈I(W)，则f(P)=0，从而f∈I(V)，即证明了I(V)⊃I(W)。

(2) 该结论显然成立。

(3) 对任意f∈I(∪Wi)，取任意P∈Wi，有P∈∪Wi，则f(P)=0，从而f∈I(Wi)；进一步有

f∈∩I(Wi)，I(∪Wi)⊂∩I(Wi)

另一方面，对任意f∈∩I(Wi)，取任意P∈Wi，都有P∈∪Wi，且有f(P)=0，于是

f∈I(∪Wi)，I(∪Wi)⊃∩I(Wi)

结论得证。

定理3[8]对任一子集W⊂An(K)，V(I(W))是An(K)中包含W的最小代数子集。特别地，W为代数子集时，V(I(W))=W。

2 Fourier变换的L1基本理论

这里介绍Fourier变换的基本性质[9-12]。先引入记号，用En表示n维欧氏空间。本文主要讨论定义在En上的函数空间L1。

(1)

定义4函数f,g∈L1(En)，称h为f、g的卷积，若

则h=f*g。

定理6若f∈Lp(En)，1≤p≤∞，且g∈L1(En)，则h∈Lp(En)，且‖h‖p≤‖f‖p‖g‖1。

设τh和δa分别为平移算子和伸缩算子。若f,g∈L1，则Fourier变换有如下结果：

现讨论Fourier反演问题，即给定一个函数的Fourier变换，如何得到原函数？

定理7设f,g∈L1，有

(2)

可由Fubini定理[9]证明之。

若f,φ∈L1，δε为伸缩算子，对f(x)和 e2πixδεφ(x) 运用上述定理和Fourier变换平移算子的计算公式可得到定理8和定理9。

(3)

(4)

3 Banach代数[13-14]

定义4一个复代数是复数域C上的向量空间A，其中A上定义有乘法，对于所有x,y,z∈A和所有标量α，满足：

(1)x(yz)=(xy)z；

(2) (x+y)z=xz+yz,

x(y+z)=xy+xz；

(3) α(xy)=(αx)y=x(αy)；

若A是Banach空间，其范数满足乘法不等式:

(4) ‖xy‖≤‖x‖·‖y‖,x,y∈A

并且A包含单位元e，使得

(5)xe=ex=x,x∈A，‖e‖=1

则称A为Banach代数。

定理10假定A是Banach空间具有单位元e≠0的复代数，其中乘法是左连续和右连续的，则A上存在范数，它导出与所给拓扑相同的拓扑，且使A成为Banach代数。

显然，x→Mx是线性的，结合律意味着Mxy=MxMy。若x∈A，则

‖x‖=‖x e‖=‖Mxe‖≤

‖Mx‖·‖e‖

(5)

‖MxMy‖≤‖Mx‖‖My‖

Ti(y)=xiy=(xie)y=Ti(e)y

(6)

当i→∞时，式(10)中Ti(y)趋于T(y),而Ti(e)→T(e)。由于A中乘法做连续，故式(10)中最后一项Ti(e)y为T(e)y。令T(e)y=x，则

T(y)=T(e)y=xy=Mxy

特别地，L1(En)以卷积为乘法，是个交换 Banach 代数。

定义5子集J是复交换代数A的子空间，且对任何x∈A和y∈J，有xy∈J，则A的子集J为一个理想。

若J≠A,J是真理想。显然可以得到定理11、12。

定理11A的真理想不包括A的任何可逆元；理想的闭包也是理想。

定理12若A是具有单位元的交换复代数，则A的每个真理想都包含在一个极大理想之中。若A是交换Banach代数，则A的每个极大理想是闭的。

4 L1空间上的Zariski拓扑

现将Zariski拓扑推广到L1空间上。

定义6设I为L1(En)的闭理想，则称Z(I)为I的谱点集，ξ为(En)空间中的向量。若

显然若I1⊂I2，则Z(I1)⊃Z(I2)。

引理1[13]若f∈L1(En), 向量t∈En,ε>0,则存在h∈L1(En),‖h‖1<ε,使得对于t的某一邻域中的所有向量s，有

gλ(x)=eitxλ-ng(x/λ)

且定义

有

故当λ→∞时，‖hλ‖1→0。

定理13[13]若函数ω∈L∞(En)，Y是L1(En)的子空间，且对每一个f∈Y，有

f*ω=0

h∈L1(En)，‖h‖1<1

对在v的某一邻域中的所有s，有

故只需证明ω*ψ=0即可。

令g0=ψ,gm=h*gm-1,m≥1，则

‖gm‖1≤‖h‖m1‖ψ‖1

或

故有ψ=G*f，且

ψ*ω=G*ψ=0

定理14Y=L1,当且仅当Z(Y)=∅。

证明若Z(Y)=∅，则由上文定理易知Y的补空间平凡，故可推出Y=L1。反之显然。

定理15Y={0},当且仅当Z(Y)=En。

证明若Y={0}，显然有Z(Y)=En。

若Z(Y)=En，则

由Fourier逆变换的唯一性知f=0，故Y={0}。

定理16

(a)Z(XY)=Z(X∩Y)=Z(X)∪Z(Y)；

证明

(a) 若ξ∉Z(X)∪Z(Y)，则存在f∈X,g∈Y，使得

f(ξ)≠0，g(ξ)≠0

故由Fourier逆变换和卷积的Fourier变换的性质知

(f*g)(ξ)≠0

故有ξ∉Z(XY)，从而有

Z(XY)⊂Z(X)∪Z(Y)

由于XY⊂X∩Y⊂X,Y，故有

Z(XY)⊃Z(X∩Y)⊃Z(X)∪Z(Y)

因此,结论(a)成立。

综上所述表明，谱点集有闭集的性质，故L1上也具有Zariski拓扑。

定理17I(A)是L1理想，且有A=Z(I(A))。

因此，I(A)是L1理想。显然A=Z(I(A))。

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A New Topology over L1Space

LI Xiaoyan

(Department of Mathematics and Physics, Shanghai Dianji University, Shanghai 201306, China)

Zariski topology is used in algebraic varieties studies. Using Fourier analysis and operator algebra, we construct a Zariski topological structure on the L1 space.

L1space; Zariski topology; Fourier transform; Banach algebra; ideal

2016-10-05

上海高校青年教师培养计划资助(A1-5701-15-011-09);上海电机学院重点学科项目资助(16JCXK02)

李晓燕(1985-)，女，讲师，博士，主要研究方向为偏微分方程及数学物理，E-mail：lixy@sdju.edu.cn

2095-0020(2016)06-0364-05

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