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等效重力法有妙用求单摆周期显奇能

2017-01-09华峰

广东教育·高中 2016年11期
关键词:单摆半径小球

华峰

大家都知道,在地球重力场中单摆的振动周期公式是T =2π.可是我们遇到的问题常常是求解单摆在不同条件下的周期,要简捷、顺利地求解此类问题,采用类比的方法,利用等效重力求解有奇效.下面举例分析,希望同学们能够从中受到有益的启示.

一、由于重力加速度变化而引起的周期变化

【例1】单摆在半径为R1、质量为m1的地球表面的周期为T1,若通过宇宙飞船带到半径为R2的另一颗星球表面时,其周期为T2,试求两种情况下的周期之比.

解析:根据万有引力定律有= m′g,再根据单摆周期公式T =2π可得,=.

一般来说引起重力加速度变化的原因有:纬度的变化、高度的变化、场环境的变化,为此可将单摆运动知识与万有引力知识、天体运动知识结合起来求解.

二、由于摆球受到浮力而引起的周期变化

【例2】用一根长为l的细线悬挂一个密度为ρ的小球,并将其放在密度为ρ0(ρ0 < ρ)的液体中,不计液体对小球的运动阻力,试求小球在平衡位置附近做小幅振动的周期.

解析:将重力mg = ρgV和浮力F = ρ0gV(V为小球的体积)合成一个等效重力mg′,则有mg′= ρgV- ρ0gV,即g′= (1-)g.

由此可得小球的振动周期为T =2π=2π.

三、由于单摆处于非惯性系中而引起的周期变化

【例3】如图2所示,沿平直轨道以加速度a做匀速直线运动的车厢中,用一根长为l的细线悬挂一质量为m的小球,求小球在平衡位置附近做小幅振动的周期.

解析:小球在相对车厢静止时,根据物体受力平衡得到等效重力mg′为mg′=,即mg′=m,则g′=.

故此可得小球的振动周期为T=2π=2π.

【例4】如图3所示,将一单摆挂于小车上,将小车放于一辆倾角为θ的斜面上,当小车在斜面上加速下滑时,摆线与竖直方向的夹角也为θ.已知摆球直链状为m,摆长为l,重力加速度为g,求此单摆的周期及小车与斜面间的动摩擦因数.

解析:由图示可知小车运动过程中,摆线的拉力F = mgcosθ,则g′ = gcosθ,故T =2π.

再由受力分析可知,动摩擦因数μ = 0.

一般这些阶段的非惯性系系统指处于匀变速直线运动的力学装置,在此前提下就可用类比法快速求解此类问题.

四、由于单摆处于匀强电场中而引起周期的变化

【例5】将一带电摆球置于一水平向右的匀强电场中,如图4所示.摆球静止时与竖直方向之间的夹角为α,已知摆球质量为m,摆长为l,带电荷量为Q.现若将摆球拉离静止位置一个很小的角度释放,求其振动周期;若要使摆球摆到竖直方向时速度为零,应将摆球拉离竖直方向一个多大的角度?

解析:摆球静止在平衡位置时的拉力F=,则g′=,故此摆球的振动周期为T=2π=2π.

一般当单摆处于匀强电场中时,由于所受的电场力为恒力,与重力的合力仍为恒力,运用类比法求解简捷、快速.

五、单摆周期公式的拓展运用

【例6】有一摆钟在地面上走时准确,其标准周期T0 = 2s,现将其移到高山上,发现它一昼夜慢了1min,求此山的高度.已知地面重力加速度g0=9.8m/s2,地球半径R0=6400km.

解析:设摆钟在标准时间内的振动次数为N,则其在标准时间内指示的时间t=N·T,在标准时间内慢的时间就应为△t=N·△T,其中N=,△T=T-T0.

再由=(),代入已知数据可解得h=4450m.

由上述解题过程可归纳出一个有用的结论:钟在标准时间里指示的时间与摆振动的次数成正比,跟钟摆的振动频率成正比.写成比例关系式为:=====.据此可根据题目的特点,达到快速、简捷求解的目的.

【例7】竖直放置的光滑圆弧形球面半径R较大,在弧面中心O正上方高h处放置一个小球A,当A自由下落的同时,另一个小球B从球面某处C(OC弧远小于半径R)由静止开始滚下,为时两球相碰,h应满足什么条件?

解析:根据题意,小球B在光滑圆弧面上滚动等效于单摆,摆长即为圆弧半径,周期T=2π,考虑到单摆运动的周期性,由相碰的条件有(2n-1)=,解得h=R(n= 1,2,3,…).

一般类单摆模型的计算,主要是求解其等效摆长或等效重力加速度.

练习

1. 已知北京的重力加速度g1=9.812 m/s2,南京的重力加速度g2=9.795 m/s2,在北京准确的钟摆,如果放在南京,钟将走慢还是走快?一昼夜差多少?要使其走时准确,如何调整摆长?

2. 如图5所示,一个质量为2m的球体A套在光滑水平杆上,用一长为l的小球B与A连接,约束A球,将B球拉离竖直方向一个很小的角度,释放B球的同时撤去A球的约束,之后A、B两球都将做简谐运动,试求A球和B球的周期.

3. 如图6所示,半径为R=10m的光滑凹球面容器固定在地面上,有一小木块在距容器最低点P=10cm的C点,由静止无摩擦滑下,则小木块自静止滑下到第二次通过P点时所经历的时间为多少?若此装置放在以加速度a向上运动的实验舱里,上述所求的时间又是多少?

责任编辑 李平安

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