质点运动的概率题

蔡 明●

浙江省诸暨市浬浦中学(311824)

质点运动的概率题

蔡 明●

浙江省诸暨市浬浦中学(311824)

在解排列组合与概率题时常可遇到质点的运动问题.由于这类问题以考查学生分析问题、解决问题的能力以及逻辑思维能力为主，相对而言基础薄弱的学生就有一定的难度.本文借用一高考题抛砖引玉.

高考题：设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点(3，0)(允许重复过此点)处，则质点不同的运动方法共有____种.(用数字作答)

本题考查了学生分析问题与解决问题的能力，考查计数原理，排列组合的基本意义，分类讨论思想、等价转化思想以及对背景新奇问题的理解中所表现出来的不同思维品质、思维能力.本题可用两种方法进行求解.

方法一 (分类讨论)第一次跳动落在(1,0)回头跳有1种，第二次跳动落在(-1,0)再回头有1种，经过(2,0)，(3,0)，(4,0)落在(3,0)有3种，计5种.

而事实上从试题评析报告来看本题的得分不是很理想.我想这也说明我们学生对此类问题还是显得有点为难.为了能更好地让我们掌握质点运动问题，笔者借此对此高考题作些演变，与同行一起探讨.高考题只是让我们求出满足条件的种数，与排列组合问题进行结合，如若加以演变不但可与排列组合结合，而且也可融入概率知识.

演变一 指定向左、向右的概率

分析 求出经过5次跳动质点A落在点(3，0)(允许重复过此点)处的概率，也就是要明确左右的次数问题.根据方法二可知：向右方向跳动4次，向左方向跳动1次.

演变二 质点个数增加为2个

分析 将质点个数增加为两个，提高了问题的分析难度.可将题目运用分步计数原理进行求解.

根据相互独立事件同时发生的概率计算公式可得，

演变三 质点运动方向限制

分析 将质点的运动方向加以限制，不能向上述题目一样可用组合问题进行求解.此类还需有一定的逻辑分析能力，但可转化为数列问题，即经n秒后质点A在x=1处的概率Pn，可由经n-1秒质点A在x=1处的概率Pn-1与不在x=1处的概率1-Pn-1来表示.

演变四 质点个数与运动方向都增加

(2)结合上图可知至少经过2秒就可相遇，地点可在C(0,2),O(1,1),E(2,0).

从上面几个题目的求解中可以看出对于概率类质点运动问题的求解，不但要能正确分析质点的运动过程或运动规律，而且也要能区分基本的计数原理，以及正确选用基本概率计算公式.

G632

B

1008-0333(2016)34-0022-01