浅谈中学数学恒成立问题的解决策略与方法

2017-01-09赵志鸿

数理化解题研究 2016年34期

关键词：中学数学浅谈直线

赵志鸿●

江苏省南京市湖滨高级中学(210000)

浅谈中学数学恒成立问题的解决策略与方法

赵志鸿●

江苏省南京市湖滨高级中学(210000)

在中学数学学习过程中经常遇到“恒成立”的问题，由于解析该种问题具有很强的抽象性与逻辑思维性，因此“恒成立”问题就是学习数学的重点，也是难点.很多学生对该知识点的掌握不是很完善，为了帮助学生掌握“恒成立”问题的解决要点，首相要将“恒”字作为突破口，主要是考察学生转换以及知识的灵活运用程度，对于学生的综合能力的培养是非常有意义的.

一、函数最值法

在“恒成立”问题中，函数最值法是最常用也是基本的解题方法.

例如：已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1,若xf′(x)≤x2+ax+1恒成立，求a的取值范围.

由以上题目可以看出，函数最值法是解决恒成立问题的简单而有效的方法，但关键是对题目的恰当变形处理.

二、分离参数法

“恒成立”问题类型多样，在面对不同类型的问题时，解题方法也不同.例如，面对函数不等式类型的“恒成立”问题时应该采用分离参数法.和函数最值法类似在采用分离参数法时首先要将函数进行变形处理，经过变形处理的函数其参数被分离出来，当函数变成只含有一段的解析式，这样函数变得更加简单、明了.有助于快速解决“恒成立问题”

例如：已知2a-3b=1，证明ax+by=5这条直线恒过定点.在这道题中已知2a-3b=1，便可以得出a=1/2(3b+1)，把其代入直线方程式后，分离参数b可以出(x-10)+b(3x+2y)=0.又由x-10=0与3x+2y=0得到x=10，y=-15.所以(x-10)+b(3x+2y)=0表示经过x-10=0与3x+2y=0这两条直线的交点(10，-15)的直线系方程.因此当2a-3b=1的时候，坐标(10，-15)是直线ax+by=5的恒过定点.该例题采用分离参数法来解决“恒成立”问题时，主要将含参数的项集中到一起，不含参数的项另集中到一起，再用恒等式的方法加以解决.