导数题中蕴含高数方法

朱小扣●

安徽省无为县牛埠中学(238351)

导数题中蕴含高数方法

朱小扣●

安徽省无为县牛埠中学(238351)

导数题目在高考题中占有重要的份量，而导数题目的解决很多时候会用到高等数学里的函数极限的定义，洛必达法则，罗尔定理，拉格朗日中值定理，琴生不等式等知识.现将平时教学几则案例导数题中蕴含高数方法分析如下.

案例一：与函数极限定义的联系

(2014年福建卷理20题)已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图象与y轴交与点A，曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.

(1)求a的值及函数f(x)的极值；

(2)证明：当x>0时，x2

(3)证明：对任意给定的正数c,总存在x0，使得当x0∈(x0,+∞)时，恒有x2

评析 对于第(3)小问，笔者在教学时，同学们都问我为什么会有两个参数c和x0,为什么关键是找x0.笔者回去仔细琢磨了一下，实际上第(3)小问关键是运用函数极限的定义，就很好理解了.由函数的定义可知：

案例二：与罗尔定理的联系

(2014年四川卷理21题)已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1，其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.

评析 对于第(2)小问,高考命题组给的参考答案很多同学反映看不懂，我觉得参考答案对高中学生而言，确实有一定难度，我觉得这一题如果用罗尔定理，就很简单：

至此，问题得到了简单的转化，很容易就能解决，后面的过程在这里就不再赘述了.

案例三：与拉格朗日中值定理的联系

(1)当m=e时，求f(x)的最小值；

案例四：与洛必达法则的联系

例题 当x>0时，ex≥-x2+bx+1恒成立，求b的取值范围.

解 当x>0时，ex≥-x2+bx+1恒成立.

这种方法使用变量分离和洛必达法则，直接准确地能得到题目的答案，避免了分类讨论的繁琐，与之类似题还有2010年大纲卷理科22题，2011年新课标理21题等.

总结 教师在传授导数的知识时，一定要多想想这题的本源是什么，这一题蕴藏了哪些高数知识，可以和大学中的哪些定理定义有联系.只有教师居高临下，才能观若洞火，才能更好地引导学生去学习，才能达到自身水平的提高.同样学生在学习导数时，如果可以适当地学习一些高数知识，就更可以“一览众山小”，就更可以一招制敌，秒杀诸题！

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1008-0333(2016)34-0004-01