分式求值的“10”个常用技巧

张爱东

分式求值是分式运算中的一类常见问题，对计算能力的要求较高.在求解此类问题时，既要注意基本法则的应用，也要掌握相关的解题技巧.下面举例说明.

一、整体通分

例1：计算x2+x+1-.

分析：把（x2+x+1）看成一个整体，对式子进行通分，并且分子还可利用乘法公式简化运算.

解：原式 =-==-.

二、部分通分

例2：计算 ---.

分析：按照常规解法是把四个分母一起通分，这样求解过于繁琐.若选择前面两个分式通分，然后再逐个通分，这样便化繁琐为简单.

解：原式=--

=-=-.

三、取倒数

例3：已知=1，求x+的值.

分析：根据已知分式的特点，运用取倒数的方法是解决这类问题的常用方法.

解：把=1两边取倒数，得=1，

即x-3+=1，所以x+=4.

四、整体代入

例4：已知-=，则的值是（ ）.

A. B. - C. 2 D. -2

分析：将已知等式变形，转化为含有ab、（a-b）的代数式，整体代入求解.

解：将已知条件通分合并得=，所以ab=2×（b-a）=-2（a-b），则==-2.故答案选D.

五、特值思想

例5：已知-=1，则的值是（ ）.

A. B. - C. 1 D. -1

分析：本题从不同的角度来思考，可以得到不同解法，但用特值思想求解最简捷.

解：取b = 1，则a=，代入得，原式 =-1，故答案选D.

六、因式分解

例6：计算+.

分析：通过观察发现，每个分式的分子、分母均可进行因式分解，因此可将每个分式先因式分解，约分后，再进行计算.

解：原式 =+

=+

==

七、巧用拼凑

例7：化简.

分析：观察分式不难发现，其中的常数3给该分式的运算带来了不便.为此可设法将3巧妙拼凑成与a、b、c有关的式子，这样很容易想到3=++.

解：原式=+

=+

=

=++.

八、善于裂项

例8：计算

+++.

分析：用常规解法进行计算显然会非常麻烦，仔细观察可发现，每个分母都可以分解为两个一次因式的积，例如x2 + x = x（x+1），且=-.

解：原式 =（-）+（ - ）+

（-）+（-）

=-

=.

九、活用公式

例9：计算

（x+）（x2+）（x4+）（x8+）（x16+）（x2-1） .

分析：直觉告诉我们，本题可以利用公式进行计算.如何利用公式呢？通过观察可知，只要在式子前添加（x-）这个因式，便可利用平方差公式，多次利用公式便可简捷获解.

解：当x≠1时，

原式=×

=……

=×

=

=x33-.

当x=1时，该等式也成立.

十、妙用换元

例10：化简

（x+）2-（x+-）2÷

.

分析：乍一看本题较繁琐，但仔细观察就会发现，它们都是x+、 x2+的形式，因为（x+）2=x2++2，为此可想到妙用换元，便可快速获解.

解：设a=x+，

则原式 =a2-（a-）2÷

=a2-（）2×

=a2-（a2-a+1）

=a2-a2+a-1

=a-1

=x+-1.