(6×v，{3，4}，1，Q)光正交码的构造

王永真，余黄生，吴佃华

(广西师范大学数学与统计学院，广西桂林541004)



(6×v，{3，4}，1，Q)光正交码的构造

王永真，余黄生，吴佃华

(广西师范大学数学与统计学院，广西桂林541004)

光正交码(OOC)是光码分多址通信系统的基础，二维光正交码比一维光正交码具有更好的性能。二维变重量光正交码目前研究结果少。本文利用斜Starter构造了两类二维变重量光正交码(6×v，{3，4}，1，(4/5，1/5))-OOC 和 (6×v，{3，4}，1，(2/3,1/3))-OOC，其中第一类是最优的，第二类码字个数比理论上界少3个。

二维变重量光正交码；严格循环填充；斜Starter；最优

0 引言

光正交码(OOC，又称一维光正交码) 由Salehi[1]于1989年引入，由于具有良好的光学相关特性，其在光纤信道上的码分多址(OCDMA) 系统被广泛应用。常重量光正交码由于其码重相同，只能提供单一质量的通讯服务。Yang在文献[2]中引入了变重量光正交码，其具有多种重量的码字，而不同重量的码字具有不同的误码率，故能满足多种服务质量的需求。一维变重量光正交码已有一些研究工作(见文献[2-4]及其参考文献)。

随着社会的高速发展，人们需要高速率、大容量、不同误码率的OCDMA系统，Yang 等在文献[5]中提出了二维常重量光正交码(2-D CWOOC)，它具有较大的码字容量。但类似于一维常重量光正交码，2-D CWOOC也只能满足单一的服务质量需求。为了能够在扩充码字容量的同时提供多种质量的通讯服务，二维变重量光正交码(2-D VWOOC)被引入[6-7]。下面介绍二维变重量光正交码的定义。

定义1[6]一个二维(u×v,W,Λa,λc,Q)变重量光正交码C，或(u×v,W,Λa,λc,Q)-OOC是一族u×v的(0,1)矩阵(码字)，并且满足以下3个性质：

②周期自相关性：对任意矩阵X∈C，其汉明重量wk∈W，整数τ,0<τ≤v-1,

③周期互相关性：对任意两个不同的矩阵X,Y∈C，整数τ,0<τ≤v-1,

文献[6-7]给出了(u×v,W,1,Q)-OOC的上界，但这个界是不紧的，文献[8]给出了新的上界。令

Φ(u×v,W,Λa,λ,Q)=max{|C|:C是(u×v,W,Λa,λ,Q)-OOC}。

以下结果见文献[8]。

给定u、v、W和Q，若C的码字个数达到最大值，则称C是最优的。

1 预备知识

斜Starter经常被用来构造光正交码，本文也利用斜Starter来构造两类二维变重量光正交码。下面给出斜Starter的定义。

定义1[8]设G是一个v阶Abel群，群G上的一个斜Starter是由一组无序对组成的集合S={{xi,yi}:1≤i≤(v-1)/2}，它满足如下3条性质：

①{xi:1≤i≤(v-1)/2}∪{yi:1≤i≤(v-1)/2}=G{0};

②{±(xi-yi):1≤i≤(v-1)/2}=G{0};

③{±(xi+yi):1≤i≤(v-1)/2}=G{0}。

引理2[9]若gcd(v,6)=1，v不能被5整除或能被25整除，则在模v的剩余类环Zv上存在斜Starter。若v≡0(mod 3)，则在Zv上不存在斜Starter。

根据定义，斜Starter存在的必要条件是v为奇数。由引理2知，当gcd(v，30)=1时在Zv上存在斜Starter。由文献[10]，令X={xi:1≤i≤(v-1)/2}，Y={yi:1≤i≤(v-1)/2，可使得X=-Y，则X∪(-X)=Y∪(-Y)=X∪Y=G{0}。

为构造(u×v,W,1,Q)-OOC，2-SCP(W,1,Q;u×v)在文献[6]中被引入，下面的定义取自文献[8]。

设X为一个v元集合，B为X的元素个数属于W的子集(称为区组) 所组成的子集族。若X的任意不同元素对至多出现在B中的λ个区组中，则称(X，B)是一个2-(v,W,λ)填充，记为2-P(W,λ;v)。

设Qu是一个u元集合，X=Qu×Zv,(X,B)是填充设计2-P(W,λ;uv)，若该设计的自同构π含u个v长的置换，则称此填充设计是v-循环的。不失一般性，设自同构π:(i,x)→(i,x+1)mod(-,v),i∈Qu,x∈Zv。若π作用下区组轨道长度为v，则称之为长轨道，否则称为短轨道。若v-循环的2-P(W,λ;uv)在自同构π下无短轨道，从每个轨道各取一个区组构成集合F(称为基区组)，称F为2-SCP(W,λ;u×v)。对1≤i≤r，若F中大小为wi的区组所占的比例为qi，则称此设计为2-SCP(W,λ,Q;u×v)。若2-SCP(W,1,Q;u×v)中区组个数达到最大值，则称其为最优的。

引理3[8](最优)2-SCP(W,1,Q;u×v)等价于(最优)(u×v,W,1,Q)-OOC，且(u×v,W,1,Q)-OOC的码字个数等于2-SCP(W,1,Q;u×v)的基区组个数。

引理4[8]若g-正则2-SCP(W,1,Q;u×v)和最优2-SCP(W,1,Q;u×g)同时存在，则存在最优2-SCP(W,1,Q;u×v)。

由引理3知，可以通过构造最优2-SCP(W,1,Q;u×v)来构造与其等价的最优(u×v,W,1,Q)-OOC。

利用斜Starter和上述结果，本文得到以下结果。

定理1 如果在Zv上存在斜Starter，则存在最优(6×v,{3,4},1,(4/5,1/5))-OOC。

定理2 如果在Zv上存在斜Starter，则存在(6×v,{3,4},1,(2/3,1/3))-OOC。

2 2-SCP(6×v,{3,4},1,Q)的构造

本节我们将证明定理1、2。为此先给出一些记号：

设M是整数组成的集合，a是整数，定义aM={ax:x∈M}。

由斜Starter的定义知，A=B=C=Zv{0}。

引理5 如果存在Zv上的斜Starter，则存在1-正则2-SCP({3,4},1,(4/5,1/5);6×v)。

证明 令:

表1 Δαβ(F1)

由上可知，对(α,β)∈Z6×Z6,Δαβ(F1)=Zv{0}。因此，F1为Z6×Zv上的1-正则2-SCP({3,4},1,(4/5,1/5);6×v)。证毕。

例1 S={{1,5},{2,3},{4,6}}是Z7上的一个斜Starter。令：

下面证明定理1。

定理1的证明 由引理5知，存在1-正则2-SCP({3,4},1,(4/5,1/5);6×v)，由引理3知，存在(6×v,{3,4},1,(4/5,1/5))-OOC，码字个数为5(v-1)。由引理1知,

所以，此OOC是最优的。证毕。

推论1 当gcd(v,30)=1时存在最优(6×v,{3,4},1,(4/5,1/5))-OOC。

接下来证明定理2。

引理6 如果在Zv上存在斜Starter，则存在1-正则2-SCP({3,4},1,(2/3,1/3);6×v)。

证明 令:

表2 Δαβ(F2)

由上可知，对(α,β)∈Z6×Z6,Δαβ(F2)=Zv{0}。因此，F2为Z6×Zv上的1-正则2-SCP({3,4},1,(2/3,1/3);6×v)。证毕。

例2 S={{1,5},{2,3},{4,6}}是Z7上的一个斜Starter。令：

定理2的证明 由引理6知，存在1-正则2-SCP({3,4},1,(2/3,1/3);6×v)，由引理4知，存在(6×v,{3,4},1,(2/3,1/3))-OOC。证毕。

推论2 当gcd(v,30)=1时存在(6×v,{3,4},1,(2/3,1/3))-OOC。

注记 由引理6的证明和引理3知，定理2中的(6×v,{3,4},1,(2/3,1/3))-OOC的码字个数为9(v-1)/2。由引理1知：

由引理4，若存在最优(6×1,{3,4},1,(2/3,1/3))-OOC，则存在最优(6×v,{3,4},1,(2/3,1/3))-OOC。但不存在最优(6×1,{3,4},1,(2/3,1/3))-OOC。所以有以下问题。

[1] SALEHI J A. Code division multiple-access techniques in optical fiber networks：part I： fundamental principles[J].IEEE Transactions on Communications，1989，37(8):824-833. DOI:10.1109/26.31181.

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[3] 余黄生，吴佃华. 一类新的最优变重量光正交码[J]. 广西师范大学学报(自然科学版)，2011，29(4): 79-83. DOI:10.16088/j.issn.1001-6600.2011.04.014.

[4] 张玉芳，余黄生. 重量集为{3,4,7}的最优变重量光正交码[J]. 广西师范大学学报(自然科学版)，2016，34(1): 78-83. DOI:10.16088/j.issn.1001-6600.2016.01.012.

[5] YANG G,KWONG W C.Performance comparison of multiwavelength CDMA and WDMA+CDMA for fiber-optic networks[J]. IEEE Transactions on Communications， 1997，45(11): 1426-1434. DOI:10.1109/26.649764.

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(责任编辑 黄 勇)

Construction of (6×v，{3，4}，1，Q)-OOCs

WANG Yongzhen，YU Huangsheng，WU Dianhua

(College of Mathematics and Statistics，Guangxi Normal University，Guilin Guangxi 541004，China)

Optical orthogonal code (1-D OOC) is the basis of optical code-division multiple access system. Two-dimensional OOC (2-D OOC) has better performance than that of the 1-D OOC. Existing constructions of 2-D variable-weight OOC are rarely seen. In this paper，by using skew starters，two new classes of two-dimensional variable-weight OOC ((6×v)，{3,4}，1，(4/5，1/5))-OOCs and (6×v，{3,4}，1，(2/3，1/3))-OOCs are constructed. The (6×v，{3,4},1,(4/5,1/5)-OOCs are optimal. (6×v，{3，4}，1，(2/3,1/3))-OOCs fails to be optimal by missing three codewords (two of weight 3 and one of weight 4) compared to the theoretical upper bound.Keywords: 2-D variable-weight optical orthogonal code；strictly cycle packing (SCP)；skew starter; optimal

10.16088/j.issn.1001-6600.2016.03.009

2016-04-14

国家自然科学基金资助项目(11271089)；广西自然科学基金资助项目(2014GXNSFDA118001)；广西高等学校高水平创新团队及卓越学者计划项目

吴佃华(1966—)，男，山东潍坊人，广西师范大学教授，博士生导师。E-mail:dhwu@gxnu.edn.cn

O157.2

A

1001-6600(2016)03-0062-06