惠斯通电桥实验中桥臂电阻的确定

林丽梅，郭维熊

(福建师范大学，福建 福州 350117)

惠斯通电桥实验中桥臂电阻的确定

林丽梅，郭维熊

(福建师范大学，福建 福州 350117)

惠斯通电桥的灵敏度是影响其测量精度的关键因素。对电压法和电流法惠斯通电桥测电阻实验进行了理论探讨和实验验证，发现电桥灵敏度与桥臂电阻密切相关。提出最佳桥臂电阻的计算公式，为惠斯通电桥的精确测量提供便利。

惠斯通电桥；桥臂电阻；灵敏度

惠斯通电桥是一种常用的电磁学测量方法，具有测量精度高、稳定性好、便于操作等特点，在测量电阻、电容、电感、长度、温度、压力等方面均有应用[1-4]。惠斯通电桥的测量方法可以通过典型的直流平衡电桥测电阻的实验进行系统的学习和研究，因此在大学物理实验中一般将自组惠斯通电桥测电阻实验列为重要的基础实验[5]。惠斯通电桥既是一种测量方法，提高其测量精度是非常必要的，而电桥的灵敏度是影响其测量精度的一个关键因素。电桥的灵敏度与电桥中多种因素有关，如电源电压，平衡监测仪表的灵敏度，电源接法，及桥臂电阻等[6-8]。其中电源电压、平衡监测仪表的灵敏度与电桥灵敏度成正比关系，测量时可以从实际条件和实验仪器安全使用方面选择最优的参数；电桥中电源的接法也可以根据实际情况确定，通常接在阻值大的两臂节点和阻值小的两臂节点之间以提高电桥灵敏度[6-8]。然而桥臂电阻的选择是较为复杂的，因为桥臂电阻的选择与桥路总电阻和桥臂电阻比两个因素有关，与电桥灵敏度之间是复杂的非线性关系。尽管此前有多名学者针对电桥灵敏度的影响因素进行详细探讨并得出了定性甚至定量的研究结果，但是针对桥臂电阻的选择给出明确的指导意见并不多见[8-11]。本文从理论上分别对电压法和电流法的惠斯通电桥探讨桥臂电阻对电桥灵敏度的影响，并进行实验验证，希望得到选择桥臂电阻的确切方法。

1 惠斯通电桥的灵敏度

电压法惠斯通电桥测电阻的原理如图1所示，采用高分辨率的电压表(内阻为RV)判断电桥平衡，其中Rx为待测电阻，R4为比较臂，R2、R3为比例臂，电源电压和内阻分别为E和r，干路上的限流保护电阻为RE，干路上电流为I，桥臂Rx，R2，R3和R4上所通过的电流分别为Ix，I2，I3和I4，电压表支路上的电流为IV。

图1 惠斯通电桥测电阻的原理图

如图1，当电桥平衡(B、D两点等电位，即UBD=0)时，可推导出待测电阻Rx为：

(1)

当电桥处于平衡时，如果比较臂R4产生一个微小改变(ΔR4)引起电压表的示数产生的微小变化ΔU，则可将电压法判断平衡的电桥灵敏度SU定义为：

(2)

由于ΔU=ΔIV·RV，ΔIV为桥路BD上产生的电流微量变化，则(2)式可化为：

(3)

对图1所示惠斯通电桥应用基尔霍夫定律可得如下方程：

在ABCEA回路中，

(4)

在ABDA回路中，

IxRx+IvRv+I4R4=0

(5)

在BCDB回路中，

I2R2-I3R3-IVRV=0

(6)

在节点A上，

I=Ix+I4

(7)

在节点B上，

Ix=I2+IV

(8)

在节点D上

I4+IV=I3

(9)

(10)

RxIx-R4I4+RVIV=0

(11)

R2Ix-R3I4-(R2+R3+RV)IV=0

(12)

应用克莱姆法则可得(10)、(11)和(12)式组成的方程组的系数行列式为

(13)

可见D≠0，可知(10)-(12)式组成的方程组有唯一解，且电桥非平衡电流为

(14)

其中DV为

(15)

将(14)对R4求偏导，可得

(16)

(17)

实验测量希望获得最精确的测量结果，需选择合适的实验条件使得电桥具有最大的灵敏度。由(17)式可知， SU与E，RV，(Rx+R2+R3+R4)，Rx/R2等有关。分析(17)式可知，E越大，SU越大，在实验条件和保证仪器安全情况下选择较高电源电压E； RV越大，SU越大，应该选择较大的RV；另外，通常电压表的灵敏度越高，平衡判断越准确SU也越大，但是电压表的灵敏度过高也会给平衡判断带来困难而影响测量结果的准确性，应根据实际情况选择合适的电压表精度[6-8]。而从(17)式可知SU与各桥臂电阻之间的关系比较复杂，对于某一待测定值电阻Rx，如何提高电桥的灵敏度可归结为对如何确定合理的桥臂电阻R2和R3的探讨。至此可将探讨电桥最大测量精度的问题转化为求解(17)式中SU的最大值，应用高等数学求解方程极值的方法可得当桥臂电阻相等(即R2=R3)且为

(18)

时SU取得最大值，即电桥具有最佳的测量精度[11]。

当平衡监测仪器为高精密电流表时，应用类似的方法可推导出电桥的灵敏度SI为[6-7]

(19)

其中Sg为高精密电流表的灵敏度，Rg为电流表内阻，且当

(20)

时SI取得最大值，此时电流法惠斯通电桥具有最佳的测量精度。

2 实验方案

分别用电压法和电流法惠斯通电桥测量电阻，待测电阻预先用高精密的万用表测量阻值为1 980.02±0.05Ω。根据上述理论确定实验条件，电源电压为6.0V，平衡监测电压表的最小分度和内阻分别为0.01mV和10MΩ，平衡监测电流表的分辨率和内阻分别为1.4×10-6A/格和44Ω。详细探究不同桥臂阻值对电桥灵敏度和电阻测量的影响。

3 结果与讨论

采用电压法惠斯通电桥测量待测电阻的电桥灵敏度SU和测量结果Rx分别如图2(a)和(b)所示。在图2(a)中，随着桥臂电阻R2的增加SU(黑色方块所示)呈现先迅速增大而后缓慢减小的变化趋势，而图2(a)中的虚线表示用(17)式计算得到的电桥灵敏度理论值，可见灵敏度实验测量结果和理论曲线非常吻合；在R2为1 980Ω时理论曲线有最大值，与(18)式的计算结果一致，与实验测量结果(在R2为2 000.0Ω时SU有最大值)也非常接近，说明上述理论推导的正确性。

图2 电压法惠斯通电桥的灵敏度和测量结果

通过电桥法测得的待测电阻如图2(b)中白色方块表示，测量误差用误差杆标出，除R2为50.0Ω外待测电阻测量结果均接近实际值，尤其是R2在1 000.0～3 000.0Ω范围内改变时，待测电阻的测量结果误差最小仅1.2Ω。比对图2(a)和(b)，当R2在1 000.0～3 000.0Ω范围内改变时，电桥的灵敏度较高，因此测量结果的误差较小，测量结果也更准确，与预期一致。因此，可以通过理论的计算确定合适的桥臂阻值使得测量结果更准确。

图3 电流法惠斯通电桥的灵敏度和测量结果

当惠斯通电桥的平衡检测仪表为高精密电流表时，通过类似的理论和实验方法可以测得电流法惠斯通电桥的灵敏度SI和Rx，分别如图3(a)和(b)所示。在图3(a)中，随着桥臂电阻R2的增大SI(黑色圆球所示)也呈现出先迅速增大而后缓慢减小的变化趋势，同时也发现灵敏度的实验测量结果与(19)式计算得到的电桥灵敏度理论值(虚线所示)非常吻合。结合图3(a)和(b)，除R2取20.0Ω和50.0Ω时，待测电阻的测量结果偏差较大外，其他的测量值均接近实际值，说明电桥法测量的准确性。而且，当R2在100.0Ω至500.0Ω之间变化时系统的灵敏度较高，测量结果的误差也较小(仅1.3Ω)。另外，发现实验测量得到的最佳灵敏度时R2为300.0Ω，而理论值为208Ω，分析其差别的主要原因是由于桥路中存在接触电阻使得电流表的形式内阻增大，根据(20)式可知R2的理论值将会增大。

将电压法和电流法的电桥灵敏度归一化，结果如图4所示，可发现电桥灵敏度随R2的增大均呈现先增大后减小的趋势，只有取恰当合理的R2时电桥的灵敏度才高，而且，电压法的最佳R2阻值较电流法大，对应的较佳范围也大。因此，在实验测量时应根据实验条件的不同选择不同的实验方法及参数才能获得精确的测量结果。

图4 电压法和电流法惠斯通电桥的归一化灵敏度

综上所述，可总结出使用惠斯通电桥测电阻的一般方法。首先，根据实验条件选择合适的电桥形式(电压法或电流法)；其次，可以通过电桥法或者其他测试手段初步确定待测电阻的阻值；再次，通过公式(18)或(20)确定合适的桥臂电阻；最后，使用惠斯通电桥法精确测量待测电阻。

4 结 论

通过对惠斯通电桥的灵敏度的理论研究，发现电桥的灵敏度和桥臂电阻密切相关，且只有选择合适的桥臂电阻才能提高电桥的灵敏度，给出了桥臂电阻的理论计算公式，为该实验的精确测量提供便利。通过比对电压法和电流法的惠斯通电桥测电阻的实验研究结果，发现电压法惠斯通电桥能够在较大的桥臂电阻范围内测得较好的测量结果，测量结果也更精确。

[1] 程军. 基于惠斯通电桥传感器的温度补偿方法[J].仪器仪表与分析监测,2010(4): 10-13.

[2] 唐军杰,王爱军,赵昆,等.利用惠斯通电桥测液位[J].电测与仪表,2012,49(3): 89-91.

[3] 李聪,李辉,曹晴.基于惠斯通电桥的拓展系列实验[J].濮阳职业技术学院学报,2006(1): 17-18.

[4] 董康军,田苏阳.惠斯通电桥测量杨氏模量的实验探究[J].渭南师范学院学报,2013,28(12): 37-39.

[5] 黄志高,赖恒,郑卫峰,等.大学物理实验[M].北京: 高等教育出版社,2012: 103-106.

[6] 李尧,孙鹏,王永超.提高惠斯通电桥灵敏度的方法[J].大学物理实验,2011,24(2): 28-31,42.

[7] 张学华.影响惠斯通电桥灵敏度因素的实验验证[J].大学物理实验,2010,23(6): 50-52.

[8] 苏启录.惠斯登电桥测量灵敏度的实验研究[J].大学物理实验,2006,19(2): 6-10.

[9] 郭英桂.惠斯通电桥最大灵敏度的仿真分析[J].晋中学院学报,2012,29(3): 30-33.

[10] 王庆艳,刘建龙,赵海发,等.电压法和电流法惠斯通电桥灵敏阈的比较实验[J].大学物理实验,2015,28(4): 75-77.

[11] 黄思俞,雷永祥.惠斯登电桥灵敏度与测量精度的探究[J].龙岩学院学报,2008,26(3): 32-35.

Determine the Bridge Arm Resistance of the Wheatstone Bridge

LIN Li-mei,GUO Wei-xiong

(Fujian Normal University,Fujian Fuzhou 350117)

The sensitivity of the Wheatstone bridge is a key factor of its measuring precision.Investigating the Wheatstone bridge of balance judging by current or voltage with theoretical and experimental methods,it is found the closed relationship of the sensitivity and bridge arm resistance.And a calculation equation of proper bridge arm resistance is derived,which offers convenience for accurate measuring.

Wheatstone bridge；bridge arm resistance；sensitivity

2016-08-29

福建省自然基金项目(2013J01174);福建省教育厅基金项目(JB13023)

1007-2934(2016)06-0036-04

O 4-34

A

10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.006.009