高等数学在中学数学教学中的应用

【摘要】本文主要通过以微积分课程为主的系列高等数学课程与中学数学课程教学内容的区别和联系的视角，从高等数学中的微积分、线性代数、高等几何等知识的角度出发，以中学数学教学的范例为依据，表明高等数学的思想方法在处理中学数学教学的有关问题上能发挥出突出的作用。

【关键词】微积分  高等数学  中学数学  教学思想  教学方法

【中图分类号】G633.6                            【文献标识码】A      【文章编号】2095-3089（2016）11-0091-03

一、引言

自新课改后，中学数学教学内容和考试题中皆增加了以分析、几何等一些高等数学（简称高数）知识作为背景的内容和问题。因此，作为新形势下的中学数学教师应当学会从高等数学的角度高屋建瓴地看待课本知识和内容，从而在教学中起到举一反三、化繁为简，达到更高的目的和高度，使许多较深奥的问题得以深入讨论和解决，培养中学生的数学素养和处理问题的能力，为他们以后持续进修和获取更高层次的数学知识奠定基础。

有关该论题的研究不少，文[1]在精选大量试题实例说明了高等数学观点、方法在解决中学数学有着事半功倍的效果;文[9]揭示高等数学与中学数学之间的关联，与此同时对中学数学科任教中师的教学实施提出自己独特的见解和建议;文[10]从行列式出发，研究了怎样将行列式应用于中学数学;文[11]主要剖析了极限思想方法在中学数学中的渗透，等等。

本文在吸取前人研究成果的前提下，将高数在中学数学中的应用以对两者之间的解题思路、方式做对比的形式，给中学数学科任教师在讲授的同时将高数渗透到平时的课堂之中提供些有益参考。

二、中学数学和高等数学的关系

1.中学数学及高等数学的概念界定

中学时期学习的数学几乎都是17世纪中叶之前的，其包括表层、深层知识这两个层面。概念、性质、法则、公式、公理和定理等基础知识和基本技能是中学数学的表层知识的组成部分，而深层知识主要有两个部分，一个是数学思想，另一个是数学方法[1]。中学阶段的数学都是比较浅显的，学生欲接受较为深刻的思想等要求他们得先学好一定的简单概念、定义等，才能继续进行对更深奥内容的探索、砖研。

高数主要由微积分、极限、几何等构造成为一个整体，在这一整体中极限论是最基础的，它为高数提供了活动空间;微积分是高等数学最重要的构成部分，它们能够用连续的观点看待函数变化趋势，函数变化的宏观规律性由积分来体现，函数的有关局部性则可以通过微分表现出来，积分和微积分连接的桥梁则是牛顿的微积分基本定理[4];级数理论是研究解析函数的一个很好的工具，无穷级数的作用是解析函数的有关性质，以离散的侧面为切入点，来对函数进行表现和计算，而广义积分则提供了把无穷极数与积分的内容连接起来的渠道[5];微分方程则是从方程的角度出发，使得函数、积分、微分可以得到有机的联系，内在的揭示了它们之间的转化关系。所以，高等数学的内容组成结构大致如下图所示[6]：

上图所展现的是高等数学各相关内容之间的关联，它只占高数体系的一小部分，专业不一样，高数的知识的延伸、拓展也将向着不一样的趋向发展，如今数学科学的不断进步，新的数学思想、方法连绵不绝地产生、发展，如与离散数学有关的基础理论、非标准分析、模型思想等，从而提高了高数内容的吸引力。

2.中学数学和高等数学的关系

高等数学的原型蕴藏在中学数学之中，在中学数学中一些不容易解释明白或解答的问题运用高等数学来思考则容易理解并且求出答案[7]。

长期以来，中国学者对中学数学的教学内容方面作出了很大的调整，而在高等数学中的贡献却是几乎为零。实际上，数学科学是一个不能够随意拆分的有机整体。中学数学和高等数学这两者是相互关联的，前者是后者的根本，而后者是前者的延续和补充，其各个部分相互间的联系体现了其生命力，培养学生的数学观念以及增强学生的数学素养是数学教育的目的。

高数课程的数学思想和方法为一些中学数学中难以解决的问题提供了新的方法和手段，帮助我们从更高的视角看待中学数学、在解决具体问题的同时还时常能帮助我们更加深入地理解这些题目的实质，从中厘清“为何这样做”和应当“怎样做”的问题。

三、高等数学在中学数学中的应用

1.高等几何在中学数学中的应用

例1（蝴蝶定理）若为圆O的一条弦，M平分.经过M点任意引两条弦AB和CD，连接AD、BC分别交弦于E、F。求证ME=MF.

证明一（弧不单单可以表示度数，还可以表示长度，所以，在表示圆周角和它所对的弧度数相等时，要表达清晰。若是还未给出“度数”，在等于号上方要写 ，它表示的是弧的“度数”;假如句子中有“度数”字样，则不必加m 。如“弧BC的度数”。）

如图1所示，作轴对称变换：

图1

故四点共圆.

从而

因此

所以

证明二如图2所示，经过圆心O作AD与BC的垂线，

垂足为S、T，连接OE，OF，OM，OT，MT，MS.

在例1中如果只是应用中学的几何知识，如证明一和证明二来解题的话，能够得到许多不一样的解法，但是解答过程相对比较繁杂，而将高等几何的交比概念应用到该题的解题中，则证明起来就相当简单了。

类似证明三这种方法，运用了高等数学中的交比概念，既能够使结论得到验证，还将结论延展到二次曲线的情形。也就是把“蝴蝶定理”里的圆转换成椭圆、双曲线、抛物线、一对平行线或是一对相交直线，结论仍然是成立的。

例2设线段MN为椭圆O上一条弦，E是MN的中点，由E点随意画出两条弦PQ、RS，使得PS、RQ分别和弦MN相交，交点为W、T，证明：EW=ET.

证明如图4所示。连接PM、PN、RM、RN，则以P为中心的线束被MN所截，有（PM，PQ，PS，PN）=（ME，WN），同理以R为中心的线束被MN所截，有（RM，RQ，QR，RN）=（MT，EN）=（MT，EN），由于弧度或弧长一样，则其所对之圆周角全部都相等，所以，，

所以有

即

又E为MN的中点，所以

高等几何在课本中所编排的知识和中学教材上的相应知识并非完全相同。在中学的数学课本里面，有关几何部分的编排几乎只是实例再展现概念和定理。然而在高等数学里却不仅给出了定义、定理，而且再加以解释、证明。此外对学生起到的训练是不同的，高等几何使学生抽象思维得到锻炼，而中学数学更多的是锻炼学生的形象思维，角度不一样，但对于同一个问题所得到的结果却一样。

2.矩阵在中学数学中的应用

例3 解出下面所给出的方程组

解法一：

第1方程乘以 ，加到第3方程即可得消去和，得到

将代入另外后两个方程得和再用消元法即可求出. 则原方程组的解为

解法二：利用矩阵的表述方法和初等变换的工具，即可得到

对于方程组的概念，初中教材就有解题的方法介绍，消元法、代入法等都是中学数学用以解方程组的常用方法。而矩阵是高等数学中的重要内容之一，利用矩阵的性质可以简便地化解方程组，并且能够将所要求方程组解的情况清楚地展示，一目了然。

3.极限思想方法在中学数学中的应用

微积分课程里面绝大部分的数学概念比如导数、积分等皆由极限进行定义，所以，极限内容它是微积分的基本概念之一。目前我国人教版中学课本里有关极限的严格定义并未做出明示，但大量教材内容或者习题解答皆普遍应用了极限思想方法。

新课程改革后的高中数学教材选修2-1第2.3.2节关于双曲线的几何性质内容中，则以探究的表现形式给出：由学生自己动手用教学软件绘出双曲线，给落在第一象限里面的部分当中标出点M，标示出点M的横坐标Xm并标出其距直线的长度，随着Xm的距离（无限）增大而无限接近，但永远也不会相交。按教材中的方法，能够知道双曲线在另外三个象限和直线接近的情形。如此双曲线的图像就越发规范，准确，并且快速，解决问题亦更加方便，与此同时还让我们通过有限的图形了解到无限的思想[1]。

例4求出双曲线 的渐近线方程.

解法一：双曲线方程可化为：

渐近线的斜率

在y轴上的截距

故所求的渐近线方程为：

解法二：双曲线的渐近线方程为

由题目知所以该双曲线的渐近线方程为

由该例题中解法一直接运用双曲线的渐近线方程可以快速、简便地得到答案;而解法二则是从极限的角度出发对问题进行解决，这一方法将渐近线的延伸趋势形象地描述出来。函数是中学数学教学内容里面相当关键的一部分内容，而该部分内容大部分存在渐近线，新课改后中考和高考当中皆将函数做为重点评测的知识点，函数题型比较新颖、解法灵活多变，要是能快速地捕捉到函数的图象变化，再利用数形结合的方法就能又快又准地解答函数题。在教学过程中，运用极限的思想方法能够将函数渐近线的变化趋势描述出来，创设情境让学生体验渐近线的产生和发展过程，帮助他们理解和掌握渐近线方程的原理。

4.微分中值定理在中学数学中的应用

微分中值定理开始成为微分学非常重要的一部分是从柯西开始的，并且其在柯西的微积分理论体系中扮演着不可或缺的角色，发挥着至关关键的效能。比方说用中值定理给出了洛必达法则的严格证明，并且泰勒公式的余项也是通过微分中值定理给出的，它也成为研究函数性态的重要[3]。

微分中值定理在数学分析中的运用十分广泛，许多中值定理在中学数学中起着举足轻重的作用，文中仅选取了柯西中值定理在中学数学中的应用进行论证。可以看到例6证明一和证明二的解法表现了一特殊与一般的情况，证明方法一在高中数学解题中常用的方法，需要对未知量进行分类讨论，过程繁琐，容易错漏;而方法二只需判断题干条件是否符合柯西中值定理，若是则直接利用中值定理进行求解。

四、总结与展望

本文列举了运用高等几何中交比、线性代数的矩阵、微积分的极限思想、微分中值定理等多种高数知识在中学数学中的应用。进而得知从高等数学的知识出发，处理中学数学中的某些疑难问题往往会更加周全、更加深刻。高数的应用能够有效地锻炼学生分析和处理问题的技能，开发他们的数学思维和创新意识。所以中学数学科任老师在讲授知识的同时，如果能应当找出教材内容与高数的衍接点，这样就能够比较好地引导、帮助学生分析、处理他们所遇到的一些比较深奥的问题，增强他们对数学的好奇心以及掌握好更深层次数学知识的信心。高等数学给中学数学的教学和解题提供了更宽阔的思路和帮助，给人以开发和启迪。

参考文献：

[1] 阮国利.高等数学方法在中学数学中的应用[J].内蒙古师范大学出版社，2008.04.08.

[2] 朱亚丽.基于高等数学背景下的高考数学试题命题方法研究[J].广州大学，2011.05.01.

[3] 党柄新.微分中值定理在中学数学中的应用[J].信阳师范学院，2014.03.01.

[4] 张定强，陈国蕤. 数学教育学报：内涵新解析[J]. 数学教育学报，2013，v.22;No.8801：96-99.

[5] 王小伟.论级数在分析学中的地位及应用[J].产业与科技论坛，2011，v1005：130-131.

[6] 王程亮.论数学结构和数学理解在高等数学实践中的作用[J].数学学习与研究，2012.10.08.

[7] 韩诚.用“高观点”研究初等数学问题的实践意义分析[J]. 黑龙江生态工程职业学院学报，2011，v.24;No.12406：115-117.

[8] 王林全，郭宝熙.初等几何研究教程[M].暨南大学出版社，2012.1：38-39.

[9] 彭小林，林广群.高等数学在中学数学中教学的应用[J].西藏教育出版社，2011.11.20

[10] 杨立群.行列式在中学数学中的应用[J].东北师范大学，2012.03.01.

[11] 陈中华.极限与极限思想在中学数学中的应用[J].海南师范大学，2014.04.01.

基金项目：广西研究生教育创新计划资助项目（JGY2014092）; 2016年度广西高等教育本科教学改革工程立项项目;2016年度广西壮族自治区中青年教师基础能力提升项目（项目编号：KY2016LX584）。

作者简介：韦玉球（1981-），女，广西都安人，研究生，研究方向：数学教育.