几何类专题复习课五度教学模式例析

韦丽云

本节课是在学生学习了三角形中位线定理，平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊四边形的性质和判定定理之后安排的一节专题复习课，把对以上知识的复习融会贯通到“中点四边形”的探究活动当中，让学生在经历观察、探究中点四边形形状与原四边形状关系的过程中，进一步体会这些知识在实际中的应用，并在经历探索和证明中点四边形的特殊性质的过程中深刻体会证明的必要性，进而丰富对图形的认识和感知.

专题复习课通常用于第二轮复习，按照五度教学模式进行问题设计.

一、问题呈现有效度

本课从生活中的方案设计问题入手，以学生熟悉的平行四边形作为学习的起点，开启对中点四边形形状及性质的探究之旅，既体现了数学来源于生活，又为后续的研究做好了铺垫.

问题1：学校有一块平行四边形的空地，打算用空地面积的一半来建造一个花坛，其余部分进行绿化.为求美观合理，学校决定在学生中征集设计方案.敏敏同学的设计方案是先定出平行四边形四条边的中点，顺次连接这四个中点后得到一个新的四边形，用这个新的四边形做花坛，其余部分作为绿化区域.请问，敏敏同学的设计是否符合要求，你能判断方案中得到的新四边形的形状吗？

【片段实录】

师：为了解决这一问题，我们需要把生活问题数学化.我们先按照敏敏的设计方案，画出图1，其中的E、F、G、H分别为平行四边形ABCD四条边的中点，然后思考问题（1），四边形EFGH的面积等于平行四边形ABCD面积的一半吗？

生1：四边形EFGH的面积等于平行四边形ABCD面积的一半.

生2：可以连接HF（如图2），于是S△EHF=S?ABFH，S△GHF=S?DCFH，所以S?EFGH=S?ABCD.

生3：这是利用了平形四边形和三角形同底等高的原理得出了图形面积之间的关系.

师：现在我们思考问题（2）.如果我们把顺次连接四边形四条边的中点所得到的四边形称为“中点四边形”，那么，中点四边形EFGH会是什么形状呢？

生4：从图形上看，它像平行四边形.

生5：在图2中，再连接EG，可以证明HF与EG相互平分，因此中点四边形EFGH是平行四边形.

生6：可以连接BD，如图3.∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD且EH=BD.同理可证FG∥BD且FG=BD.于是EH∥FG且EH=FG，四边形EFGH为平行四边形.

师：刚才同学们经过积极思考和热烈讨论，很好地解决了以上方案设计中的问题，还用上了两种不同的方法来说明中点四边形EFGH是平行四边形，而且两种方法都添加了辅助线、都关注了图形的对角线、都把新出现的图形转化成了已经学过的图形来研究.像这种把新问题转化为可以利用已经学过的知识来解决的“老问题”的解题方法，是我们数学学习中一种很重要的方法.

从学生身边的实际问题入手，可以自然地激发学生的学习兴趣和探究热情，进而引发学生的数学思考；从学生熟知的平行四边形知识出发，让学生探究中点四边形与原图形之间的面积关系，在这个过程中学生很自然地用到了已经学过的平行四边形的性质和判定定理，并由此过渡到了对中点四边形形状的探究.由此可见，问题1的呈现是有充分效度的.

二、问题变式有梯度

按照图形变式的思路，以“平行四边形→矩形→菱形→正方形”为主线设计一组变式题，这是从一般到特殊，问题逐层深入，可以让学生逐渐认清“改变原四边形的形状，其对应的中点四边形形状也会发生相应改变”这个事实.

变式1：如图4，若E、F、G、H分别为矩形ABCD四条边的中点，请判断中点四边形EFGH的形状，并说明理由.

变式2：如图5，若E、F、G、H分别为菱形ABCD四条边的中点，请说明中点四边形EFGH两条对角线的关系.

变式3：如图6，若E、F、G、H分别为正方形ABCD四条边的中点，且AB=4cm，请判断中点四边形EFGH的形状，并求出四边形EFGH的周长和面积.

通过对以上几个特殊四边形的探究（教学过程略），我们发现：当原四边形的形状变化时，其中点四边形的形状也会发生相应的变化，对应情况如表一.

在这个教学环节，每一个学生都能自觉地投入到本节课的学习活动中，积极参与讨论，大胆发表见解，得出了很多有价值的结论.我们按照“平行四边形→矩形→菱形→正方形”的主线设计三个变式题，引导学生从中点四边形的形状、中点四边形两条对角线的关系、中点四边形的周长与面积几个维度进行探究，有利于学生形成研究问题的思路，顺势复习相关的特殊四边形的知识，提高课堂效率.

三、问题开放有广度

在变式探究的基础上，问题2需要从特殊回到一般：一般四边形的中点四边形又会是什么形状呢？决定中点四边形形状的关键要素到底是什么呢？为了揭示这个本质问题，我们把问题2设计成下面的一组开放性问题，让学生多角度思考、探究，自主得出更能揭示问题本质的结论即“中点四边形的形状取决于原四边形两条对角线的数量关系及位置关系”.

问题2：已知E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边的中点.

（1）如图7，请判断中点四边形EFGH的形状，并说明理由.

（2）如图8，请添加一个条件：当____________时，中点四边形EFGH为菱形.

（3）如图9，若中点四边形EFGH的形状为矩形，则原四边形ABCD的对角线应该满足的条件是___________.

（4）如图10，若中点四边形EFGH的形状为正方形，则原四边形ABCD的对角线应该满足的条件是___________.

【片段实录】

生7：可以用之前生6所说的方法，连接对角线BD，用三角形的中位线定理证出四边形EFGH是平行四边形.

生8：当四边形ABCD为矩形时，中点四边形EFGH为菱形；

生9：当四边形ABCD为等腰梯形时，中点四边形EFGH也是菱形；

生10：我发现，只要四边形ABCD的对角线AC=BD，它的中点四边形就一定是菱形.

师：看来，决定中点四边形形状的关键要素不是原四边形的形状，而是原四边形两条对角线的关系.抓住了这个本质，问题（3）、（4）就迎刃而解了.那么，我们来总结一下，中点四边形的形状取决于原四边形两条对角线的数量关系及位置关系，它们之间的对应关系是——

师板书，与学生合作完成下面的表二.

问题2呈现的是一组开放性问题，从对特殊四边形的探究转化为对一般四边形的探究，引发学生的深度思考，使学生的思考逐渐触及问题的本质，进而得出本节课的核心知识——“中点四边形的形状取决于原四边形两条对角线的数量关系及位置关系”.

四、问题拓展有深度

在问题2的基础上，把问题3设计成组合图形问题，对学生提出了更高的要求.要综合调用相关知识，学生需要具备一定的分解、综合与推理能力.

问题3：如图11，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且ACBD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn.请完成下列问题：

（1）四边形A2B2C2D2的形状是___________；

（2）四边形A3B3C3D3的形状是___________；

（3）四边形A5B5C5D5的周长为___________；

（4）请求出四边形AnBnCnDn的面积.

问题3的探究，涉及中点四边形的形状、周长和面积三个方面，学生只有对中点四边形有了全面深刻的认识，才能在这个环节驾熟就轻.因此，问题3是本节课的升华，可以让学生的综合能力得到很大的提升.

从设计的角度讲，问题3既是与问题1的呼应，又是对问题1的深化；既能让学生应用已有的知识和经验去解决问题，又能让问题更具挑战性.对问题3的层层追问、步步探究，可以让学生深入感受数学变化的规律与奇妙.（教学过程略）

五、问题归纳有高度

本节课的问题归纳分两步走，一是探究过程中的即时归纳，二是探究结束的课堂总结.即时归纳有利于探究结果的即时生成，同时为后续学习、探究起到桥梁作用；课堂总结采用网络图的形式，对本节课的数学知识和数学思想进行提炼概括，可以起到画龙点睛的作用.

总结环节由学生唱主角，让学生谈谈对这节课的收获和体会，教师根据学生的发言进行整理，引导学生从数学知识和数学思想方法两个视角得出如下网络图，充分体现了学生学习的主体地位.（教学过程略）

本节课紧紧围绕教学目标，设置了三个问题让学生探究，每个问题中都设置了相应的题组，各题之间相互衔接，层层深入，突出了教学重点，突破了教学难点，把变式教学的思想“知识呈现问题化，问题呈现系列化，问题变式层次化，问题解决方法化”落到了实处.教师注重学生的探索过程，让学生动手操作、观察、猜测、验证，对学生在探究过程中的即时生成给予充分关注，及时引导学生自主归纳、概括出自己的发现.课堂中，学生在老师的引导下自始至终处于积极思维、主动探究的学习状态，在主动探究、自主发现知识和规律的过程中深切体会到了参与数学活动的乐趣.本节课在师生互动、生生互动的合作交流中圆满完成了教学任务.

（责编 白聪敏）