基于整体把握高中数学课程理念的教学设计探究

杨晓翔

摘 要：高中数学课程具有严格的逻辑体系.教学过程中任何只注重“课时主义”和“知识点情节”的行为，都将把数学知识碎片化、间断化和片面化，从而违背数学发生、发展的客观规律.只有在整体把握高中数学课程的理念下进行教学设计，才可能促进学生构建知识，达成三维目标，实现核心素养的形成.

关键词：数学课程；教学设计；核心素养

高中数学课程自身具有严格的逻辑体系.它既不同于以基础性、综合性为特征的小学、初中数学课程，也不同于以专业性、应用性为特征的高等数学课程，它是两者之间过渡的重要环节，兼具两者部分特征，是整个数学教育体系的核心部分，是学生的数学知识、思想、方法和能力向深度和广度大幅拓展、提升的关键部分.它们是一个整体，教学过程中任何只注重“课时主义”和“知识点情节”的行为，都将把数学知识碎片化、间断化和片面化，从而违背数学发生、发展的客观规律，教师在进行教学设计时需要统筹考虑，整体谋划.正因如此，对于整体把握高中数学课程理念的教学设计实践研究也备受重视.

一、对整体把握高中数学课程的认识

所谓整体把握高中数学课程，是指在感知过程中要把高中数学课程当作一个整体来对待和处理.具体指教师与学生在教与学的过程中，不仅要关注每个微观的数学知识点和思想方法的掌握，更要从宏观角度，把高中数学看成是由各个内在相互联系的要素构成的有机统一体，科学合理地处理好局部与整体的关系，并注重学生数学能力和情感态度的培养，努力遵循学生终身数学教育、终身发展的理念来认识、建设和处理高中数学课程.

把握高中数学的整体结构，其纵向维度，需要在每一个局部数学知识模块的教学中，努力体现其在整个高中阶段的地位和作用，从历史的角度，让学生真实感知其发现或发生、论证或发展、应用等全部过程；其横向维度，需要上升到课程的高度，把高中数学作为一个整体，让学生站在整个高中数学课程的高度，理解和认识每一知识模块，进而对高中数学获得全方位的认知与感悟.

二、 基于整体把握高中数学课程理念的教学设计课例

以笔者2015年12月在江苏省青年数学教师优秀课观摩与评比活动中应邀开设的研讨课“导数在研究函数中的应用”（苏教版）为例，通过简要介绍教学过程，谈谈笔者所在课题组在教学设计和实践中对整体把握高中数学课程理念的探索和体会.

（一） 教材分析

函数的单调性是高中学生研究函数的第一个重要性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，在“必修一”学生已学会运用定义法和图象法等初等方法研究函数的单调性.本章学生是在掌握基本初等函数的性质和学习导数的概念与运算的基础上，特别是在了解导数的几何意义的前提下，学习运用导数法去研究函数的单调性，为进一步研究较为复杂的复合函数的极值、最值，进而画出函数的草图，讨论“恒成立问题”“存在性问题”“零点问题”等打下基础，同时，也有利于帮助学生了解函数整体的平均变化率与某点处的瞬时变化率的关系，进一步加深对函数单调性的理解.

利用导数研究函数的单调性，学生的认知困难主要有两个方面.（1）导数与函数单调性关系的探索发现.高等数学是用极限思想给予严格的证明，而高中阶段只能利用导数的几何意义，由特殊函数在同一单调区间内导数值的特征来观察、分析、归纳和总结规律.如何联想到运用导数来判断单调性，以及如何发现这一规律对学生而言是非常困难的.（2）由于导数法是由特殊函数的图象结合导数值观察发现的，是否具有一般性，学生还存有疑问，如何进行理论分析、如何处理是一大难点.根据以上的分析和高中数学课程标准的教学要求，确定了本节课的重点和难点.

教学重点：导数在研究函数单调性中的应用；教学难点：导数与函数单调性关系的探究和发现以及理论分析.

（二） 教学过程简录

1.复习回顾 引入课题

引例：试确定函数f（x）=x2-4x+3的单调增区间和减区间.

问题：函数单调性是如何定义的？如何判断函数的单调性？

教师小结：图象法（依性作图、以图识性），定义法（取值、作差、变形、断号、定论）.

【设计意图】以实际数学问题为载体，通过解决问题引导学生复习回顾已掌握的证明函数单调性的初等方法.

问题：能利用这些初等方法讨论研究所有函数的单调性吗？大家能否找出一些反例？

学生：不能.例如，含有三次以上幂函数，或含有对数函数，或含有三角函数等的函数.

教师：根据同学们的意见，列举其中三个函数：

（1）f（x）=2x3-6x2+7； （2）f（x）=x1nx；（3）f（x）=x+2cosx.

【设计意图】引导学生针对在学习过程中遇到的困难，培养好奇心，探究新方法，导入新课.由学生随意推荐函数，既可以激发学生学习的兴趣，又可以初步感受新的方法研究函数单调性更具有一般性和有效性.

2. 探索归纳 发现结论

问题：运用现代多媒体技术，通过几何画板可以试着画出上述函数的图象，根据上述函数的图象，能判断函数的单调性吗？

学生：从图1可以发现，函数（1）可以，而从图2、图3不能确定函数（2）（3）的单调性，因为难以确定单调区间之间的“分点”.

【设计意图】由于还未学习极值点的判断，那么对于连续函数，学生的困难是难以确定单调区间之间的分界点——极值点的确切位置，这里激起学生的疑问，为后面进一步研究极值点埋下伏笔.通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，还需要寻找其他方法进行严密化、精确化的研究和严格的代数逻辑推理.

问题：除了初等方法，还有其他更为有效的方法研究这些复合函数的单调性吗？函数单调性是对函数变化趋势的一种刻画，高中数学还有什么知识也可以刻画函数变化的趋势？又是如何刻画的？

学生：导数.函数的导数主要刻画了函数在每一点处的瞬时变化率，反映了函数上升或下降的陡峭程度.

问题：能利用导数去研究函数的单调性吗？导数的几何意义是什么？函数在不同的单调区间内，伴随着函数图象上每一点处切线的变化，其导数值具有什么相应特征？

学生活动：利用几何画板，对上述三个函数的图象不断变化切线的位置，师生共同探究，分组讨论，猜想出导数法的一般结论，板书结论.

猜想：对于函数y=f（x）在某区间I上，

（1）如果f（x）>0，那么f（x）为区间I上的增函数.

（2）如果f（x）<0，那么f（x）为区间I上的减函数.

【设计意图】通过实例，借助几何图形的直观，观察特殊函数图象切线的变化，引导学生观察、分析、猜想和提炼出导数与函数单调性的密切关系，从而发现研究函数单调性的又一种方法——导数法，培养学生由特殊到一般的归纳总结能力.

问题：虽然上述三个函数是由大家随意找出的，但能代表所有连续可导函数吗？也就是说上述结论具有一般性吗？

教师指出：上述结论是由上述三个特殊的函数图象得到的，只是一种猜想，是否具有一般性，还需要严格的数学证明.

问题：对任意连续可导函数y=f（x）在区间I上f（x）>0恒成立，几何意义是什么？

学生：函数图象在区间I上任意一点处切线的斜率都大于零.

问题：要证明函数y=f（x）在区间I上单调递增，根据定义就是要证明什么？

学生1：任取x1，x2∈I，当x1x2时，都有f（x1）>f（x2）成立.

学生2：任取x1，x2∈I，都有f（x1）-f（x2）/x1-x2>0成立.

学生3：函数图象在区间I上联结任意两点割线的斜率都大于零.

问题：如果图象连续的函数y=f（x）在区间I上f（x）>0恒成立，则函数y=f（x）在区间I上单调递增，你能简单说明理由吗？

学生活动：分组讨论.从图4发现，让经过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的割线平行移动，当函数图象平滑、连续不间断时，则必然有一直线与函数图象相切，设切点为（x0，f（x0）），因此得到f（x1）-f（x2）/x1-x2=f（x0）>0.

教师指出：虽然上述证明过程还不是十分的严密，但已非常接近于严格的数学证明了，大家发现了连续可导函数在区间上整体平均变化率与区间内某点处局部瞬时变化率的关系.等式f（x1）-f（x2）/x1-x2=f（x0）就是高等数学中的拉格朗日中值定理.法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》的第六章提出了该结论，并进行证明，感兴趣的同学课后可以做进一步的研究.上述结论就是导数在研究函数中的重要应用.

【设计意图】使学生明确猜想只是一种合情推理，判断是否正确还必须经过严格的推理证明.对证明上述结论的高等数学中的拉格朗日中值定理，采用中学生能够接受的方式，用直观的方法来分析和说明，培养学生严密的逻辑思维能力和意识，激发学生进一步学习高等数学的兴趣和欲望.

问题：该结论反之成立吗？能举反例吗？

学生1： 成立；学生2：不成立.

对于学生错误的回答，引导学生举反例说明.

例如，虽然函数f（x）=x3在（-∞，+∞）上单调递增，但f（0）=0，所以逆命题不真.

【设计意图】把对导数法的认识由感性上升到理性的高度，第二次强化了导数法研究函数单调性的一般性，培养学生严密的逻辑思维能力.

3.掌握方法 适当延展

例 讨论确定下列函数的单调区间：

（1）f（x）=2x3-6x2+7； （2）f（x）=x+2cosx，x∈（0，π）；（3）f（x）=xlnx.

针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流.强调单调区间的区间形式、不能取并集等注意点.第（1）题教师板书规范解题过程；第（2）（3）题学生板书.

引导学生分组讨论，归纳导数法讨论函数单调性的基本步骤：确定定义域，求导数，解不等式，确定单调区间.

练习：1.利用导数法研究函数f（x）=x2-4x+3的单调性.

2.（1）讨论函数y=x+1/x（x>0）的单调性；（2）讨论函数y=x+1/x的单调性.

【设计意图】掌握导数法研究函数单调性的方法和步骤，并与初等方法进行对比，研究对象从连续函数向不连续函数推广，让学生第三次感受导数法对研究函数单调性的易操作性、一般性和有效性.同时渗透极限的思想，为今后利用函数性质画出函数图象、研究函数的其他性质打下基础.

4. 归纳小结 提高认识

问题：本节课你感受最深的是什么？

学生活动：交流本节课学习过程中的体会和收获.

课外探究：利用函数单调性，画出函数y=x+1/x的草图.

三、几点体会

在整体把握高中数学课程的理念下进行教学设计，最直接、最基本的作用是有利于学生构建知识，在此基础上，进而可以促进学生达成三维目标，最终实现学生核心素养的培养和形成.

（一）有利于学生数学知识的建构

高中阶段的导数在研究函数单调性方面起承上启下的重要作用，考虑本节课在教学大纲中的地位和分量，结合教材特点以及学生认知水平，教师必须站在课程论的高度，运用整体把握的理念进行教学设计，以便于学生更容易自主地建构知识网络.

本节课建构的基本环节见图5.

皮亚杰认为，学习过程是学习者建构自己知识经验的过程，而建构在于学习者通过新旧经验的相互作用来发展自己的知识经验.教师的作用就是要为学生的建构提供载体和支撑，必要时还需加以引导和帮助.因此，教师需要在整体把握高中数学课程的理念下，充分尊重学生的认知规律、心理和生理发展特点，遵循高中数学内在的知识结构和逻辑思想体系，进而体现高中数学课程的整体性、规律性、结构性和连续性，抓住数学的内涵和外延，让学生增强对新旧知识的能动性思考，经历有趣的数学同化与顺应过程，使学生的数学知识和能力持续呈现螺旋式上升，从而让学生的知识结构更加有效和稳固.

（二）有利于学生三维整体目标的达成

数学课程的“三维目标”往往需要跨学期、跨学年的长期渗透和培养，不可能只通过一节课全部实现，但“三维目标”的实现又离不开课堂教学，教师必须对高中三年数学课程进行整体规划，并细化、分解、落实到每一学期、每一单元、每一节课，努力以每一节课为载体和主渠道，积极尝试，逐步积累，最终整体实现“三维目标”.

本节课通过引导学生研究自己遇到的实际数学问题和学习困难，利用几何画板借助函数图象直观地探索并了解函数的单调性与导数的关系，初步掌握研究函数单调性的导数方法.让学生逐步经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，感受和体验数学发现和创造的一般历程.通过对导数与函数单调性关系的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和认真分析、严谨论证的良好思维习惯.通过初等方法与导数方法在研究函数单调性过程中不断的比较，先后完成对导数法研究函数单调性的三次层层递进式的认识，使得学生不断深入对函数和单调性概念的理解和认识，逐步体会到导数方法在研究函数单调性中的一般性和有效性，引起学生学习研究数学的兴趣，助推学生真正走进高中数学，感受数学的应用和文化价值，培养学生严格的逻辑思维能力、科学的思想和精神.

整体把握学校课程，日本学者石井英真提出了如图6所示的“认知系统三重圆模型” [2]，即（1）知识的习得与巩固（知晓水准）；（2）知识的意义理解（理解水准）；（3）知识的有意义运用与创造（运用水准）.与此相一致，《江苏省普通高等学校招生全国统一考试说明》对数学知识的考查所提的要求分为三个层次，依次为：（1）了解.对知识的含义有基本的认识，并能解决简单问题；（2）理解.对知识有较深刻的认识，并能解决基本综合性的问题；（3）掌握.系统地把握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.重点强调数学基本能力和综合能力考查的重要性，突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法以及数学应用意识和创新意识的培养考查.由于学生是课堂教学的主体，学生的发展才是教育的最终目标.因此，教师需要在整体把握高中数学课程的理念下进行教学设计.除了考虑上述数学知识层面，更应关注学生的情感、态度和价值观教育，努力发挥数学课堂的教育功能.

（三）有利于学生核心素养的培养

钟启泉教授认为，核心素养指的是同职业上的实力与人生的成功直接相关地涵盖了社会技能与动机、人格特征在内的整合能力，其核心在于重视运用知识技能、解决现实课题所必需的思考力、判断力与表达力及其人格品性[1]3 .罗增儒教授则对具体的中学数学核心素养进行了界定：是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力，是数学课程目标的集中体现[3]5.基于核心素养的课程发展直面的第一个挑战是把握学校课程的整体结构，对数学教学进行整体设计.

数理学科群，应该聚焦认知方略与问题解决能力，这需要教师在问题情境中借助问题解决的实践培育起来[1]8 .本节课，笔者对问题情境进行了整体的设计，由简单到复杂，层层递进，首先提出研究二次函数的单调性，让学生复习初等方法；其次引导学生寻找自己遇到的运用初等方法无法研究单调性的一些复合函数，启发学生探寻、发现、验证导数法；然后，再让学生尝试运用导数法研究连续函数的单调性；最后研究不连续函数的单调性.让学生在真实的数学情境中，在自己切身遇到问题时，学会努力地观察、归纳、发现、猜想和证明，使学生即使遇到的问题不是明显的或直接的数学问题，也能够从数学的角度去认识问题、以数学的态度去思考问题、用数学的方法去解决问题[3]5，落实培养即将颁布的《普通高中数学课程标准（修订稿）》中明确提出的高中阶段的六种核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析，从而有助于保障每一个学习者的知识建构与人格建构.

参考文献：

[1]钟启泉.基于核心素养的课程与发展：挑战与课题[J].全球教育展望，2016（1）.

[2]石井英真.何谓新时代的学力和学习[M].东京：日本标准股份公司，2015：22.

[3]罗增儒.从数学知识的传授到数学素养的生成[J].中学数学教学参考，2016（7）.