一类分段光滑广义Lienard微分系统的极限环分支

李时敏,郑健松

(广东财经大学 数学与统计学院,广东 广州,510320)

一类分段光滑广义Lienard微分系统的极限环分支

李时敏,郑健松

(广东财经大学 数学与统计学院,广东 广州,510320)

文章考虑一类分段光滑广义Lienard微分系统的极限环分支问题。利用一阶平均法,得到了该系统从中心的周期环域分支出极限环的最大个数。结果部分解决了J.Llibre在文[5]中所提出的猜想。

极限环;Lienard微分系统;分段光滑微分系统;平均法

1 引言及主要结果

1900年,在法国巴黎召开的第二届数学家大会上,德国数学家希尔伯特提出了著名的23个数学问题,其中第16个问题的后半部分就是考虑平面多项式微分系统的极限环个数及其分布问题[1]。由于该问题十分困难,Smale[2]仅考虑平面Lienard微分系统,并将其列为21世纪需要解决的重要问题之一。

近年来,随着对现实世界认识的日益深刻,学者们发现刻画现实物理现象的许多函数都是分段光滑的。即整个物理过程被某些瞬时事件分割成若干部分,而在这些若干部分一般又是由不同的光滑函数来刻画。例如,含有开关装置的电路在开关打开和闭合时一般对应不同的电路方程。 因此,越来越多的数学工作者开始研究分段光滑微分系统的分支问题[3,4]。

文[5]中考虑了如下分段光滑广义Lienard微分系统:

(1)

其中

在文[5]的基础上，本文进一步讨论系统(1)从原点的周期环域分支出极限环的最大个数问题。 我们的结果如下:

(I) 若fn(x)≠0,则

H(1,n,m)=[n/2)]+[m/2]+1;H(3,n,m)=[n/2]+[m/2];H(5,n,m)=[n/2]+[m/2]-1;

H(2,n,m)=H(4,n,m)=H(6,n,m)=max{[n/2],[m/2]-1}.

(II) 若fn(x)≡0,则

H(3,0,m)=[(m-2)/2];H(4,0,m)=[(m-3)/2];H(5,0,m)=[(m-4)/2];H(6,0,m)=[(m-5)/2]。

注记2 在结论(1)中,我们得到了系统(1)从原点的周期环域分支出极限环的上确界。而文[5]中得到的仅是极限环个数的上界。

文[6]中考虑了系统(1)当fn(x)≡0的情形,他们证明了H(0,0,m)=[(m-1)/2]，H(1,0,m)=[m/2],H(2,0,m)=[(m-1)/2]。并且猜测H(l,0,m)=[(m+1-l)/2].我们的结论(II)表明[6]中当l=3,4,5,6时的猜想是正确的。此外，文[7-9]对系统(1)的某些特殊情形进行了讨论。

2 分段光滑微分系统的一阶平均法

本节我们给出文[10]中介绍的分段光滑微分方程的一阶平均法。有关平均法理论的一般介绍,可以参考专著[11]。

考虑分段光滑微分方程

(3)

其中

F(θ,r)=F1(θ,r)+sign(h(θ,r))F2(θ,r),

G(θ,r,ε)=G1(θ,r,ε)+sign(h(θ,r))

G2(θ,r,ε)。

(4)

假设连续函数F1,F2:×D→,G1,G2:×D×(-ε0,ε0)→,h:×D→均为关于变量θ为2π的周期函数。 sign(u)为符号函数,即:

此外,假设h∈C1,并以0为正则值。记M=h-1(0),Σ={0}×D⊄Μ,Σ0=ΣΜ≠∅,Σ0中的元素z≜(0,z)∉Μ.定义方程(3)的一阶平均函数f:D→如下:

(5)

定理3 假设分段光滑微分方程(3)满足以下条件:

(ⅰ)F1,F2,R1,R2和h关于r满足局部Lipschitz条件。

(ⅲ)当∂h/∂θ≠0,则∂h/∂θ≠0;当∂h/∂θ≡0,则〈▽rh,F1〉2-〈▽rh,F2〉2>0,其中▽rh为函数h关于r的梯度。

则系统(3)当|ε|>0充分小,存在一个周期为2π的解r(θ,ε),使得当ε→0时,r(0,ε)→a(在Hausdorff度量意义下)。

定理3的假设(ⅱ)可以利用下面的方法进行检验。

注记4 [12]假设f:D→是C1函数,a∈D。若Jf(a)≠0,且存在a的邻域V,对所有的有f(r)≠0.则dB(f,V,0)≠0。

由定理3 和注记4 可知,微分方程(3)的极限环个数对应于平均函数(5)的简单零点个数。 下面我们开始推导平均函数(5)的具体表达式。

3 平均函数

作极坐标变换x=rcosθ,y=rsinθ,θ∈(0,2π)。当|ε|>0充分小,我们可将分段光滑微分系统(1)转换成等价微分方程

(6)

其中

(7)

将(7)代入一阶平均函数(5),得到

(8)

其中

sinθcosjθdθ.

(9)

显然A2i+1=0,i=0,1,2,….平均函数(8)可以表示为:

(10)

通过文[5]中的推导,我们得到分段光滑微分系统(1)的一阶平均函数如下:

命题5 考虑分段光滑Lienard微分系统(1)。

(Ⅰ)若fn(x)≠0,则一阶平均函数(10)为

(11)

(Ⅱ)若fn(x)≡0,则平均函数(10)为

(12)

其中

4 定理1的证明

下面的引理给出了估计函数简单零点个数的方法:

引理6[13].假设fi:U→,i=0,1,…,p+1为p+1个线性无关的解析函数,其中U∈为开区间。 若存在某个fi在U上恒不为零,则在区间U上至少有p个简单零点,其中ci,i=1,2,…,p+1为相互独立的系数。

定理1的证明:首先考虑情形(Ⅰ),即f(x)≠0的情况。

由命题5可知:

类似可证H(4,n,m)=H(6,n,m)=max{[n/2],[(m-1)/2]}。

下面我们考虑情形(II)。即fn(x)≡0的情形。

B0=0,B2j≠0,j=1,2,…,[m/2].由(12)式可知，平均函数f(r)是[m/2]个线性无关的解析函数r2,r4,…,r2[m/2]的线性组合。由于bj相互独立,从而系数B2j,j=1,2,…[m/2]可以任意选取。根据引理6,我们有H(3,n,m)=[(m-2)/2]。

B1=0,B2j+1≠0,j=1,2,…,[(m-1)/2].由(12)式可知，平均函数f(r)是[(m-1)/2]个线性无关的解析函数r3,r5,…,r2[(m-1)/2]+1的线性组合。由于bj相互独立,从而系数B2j+1,j=1,2,…[(m-1)/2]可以任意选取。根据引理6,我们有H(4,n,m)=[(m-3)/2]。

B0=B2=0,B2j≠0,j=2,…,[m/2].由(12)式可知，平均函数f(r)是[m/2]-1个线性无关的解析函数r4,r6,…,r2[m/2]的线性组合。由于bj相互独立,从而系数B2j,j=2,3,…[m/2]可以任意选取。根据引理6,我们有H(5,n,m)=[(m-4)/2]。

B1=B3=0,B2j+1≠0,j=2,3,…,[(m-1)/2].由(12)式可知，平均函数f(r)是[(m-3)/2]个线性无关的解析函数r5,r7,…,r2[(m-1)/2]+1的线性组合。由于bj相互独立,从而系数B2j+1,j=2,3,…[(m-1)/2]可以任意选取。根据引理6,我们有H(6,n,m)=[(m-5)/2]。

[1]Ji BIN LI.Hilbert’s 16th problem and bifurcations of planar polynomial vector fields[J].International Journal of ifurcation and Chaos,2003,13:47-106.

[2]SMALE S.Mathematical problems for the next century[J].The Mathematical Intelligencer,1998,20(2):7-15.

[3]BERNARDO M,BUDD C,CHAMPNEYS A,et al.Bifurcations in Nonsmooth Dynamic systems[J].Control Theory and Applications,2001,50(4):375-383.

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[5]李时敏.一类不连续广义Lienard微分系统的极限环分支[J].中山大学学报(自然科学版),2015,54(5):15-18.

[6]LLIBRE J,TEIXEIRA M.Limit cycles for m-piecewise discontinuous polynomial Lienard differential equations[J].Z.Angew.Math.Phys.,2015,66(1):51-66.

[7]BLOWS T,LLOYD N.The number of small-amplitude limit cycles of Lienard equations[J].Math.Proc.Camb.Phil.Soc.,1984,95(2):359-366.

[8]LLIBRE J,MEREU A,TEIXEIR M.Limit cycles of the generalized polynomial Lienard differential equations[J].Math.Proc.Camb.Phil.Soc.,2010,148(2):363-383.

[9]RM Martins,AC Mereu.Limit cycles in discontinuous classical Lienard equations[J].Nonlinear Analysis Real World Applications,2014,20(03):67-73.

[10]LLIBRE J,NOVAES D,TEIXEIRA M.On the birth of limit cycles for non-smooth dynamical systems[J].Bull.Sci.Math.,2014,139(03):229-244.

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Bifurcation of limit cycles for a class of discontinuous generalized Lienard differential system

LI Shimin,ZHENG Jiansong

(School of Mathematics and Statistics,Guangdong University of Finance and Economics, Guangzhou 510320,China)

This paper deals with the limit cycle bifurcation for a class of piecewise generalized Lienard differential systems.Using the first order averaging method for piecewise smooth differential system,we obtain the maximum number of limit cycles which bifurcate from the periodic annulus of the center for the unperturbed system.Our result partially solved the conjecture which state in the paper[5].

limit cycle;lienard differential system;piecewise smooth differential system;averaging method.

1672-7010(2016)04-0011-05

2016-09-20

国家自然科学基金青年科学基金资助项目(11401111)

李时敏(1983-),男,湖南岳阳人,副教授,博士,从事微分方程理论及其应用研究,E-mail:lism1983@126.com

O175.1

A