例析带电粒子在不同形状最小磁场区域内的运动

◇ 宁夏 魏廷智 权 浩



例析带电粒子在不同形状最小磁场区域内的运动

◇ 宁夏 魏廷智 权 浩

近年来在高考试题中多次出现带电粒子在有界匀强磁场区域的运动时,求磁场的最小面积问题,这类问题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高.其难点在于带电粒子在有界匀强磁场中运动的轨迹不是完整的圆,其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后飞出磁场边界,运动过程中的临界点(如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点)难以确定.此类问题解决的关键是依据题意分析带电粒子的运动过程和运动形式,抓住运动过程中的临界点,应用几何知识,找出运动轨迹的圆心,确定半径,画出带电粒子运动的部分轨迹,再利用题目中规定形状的最小磁场覆盖粒子运动轨迹,然后利用数学知识和相应的物理规律分析解出所求磁场的最小面积.下面笔者以实例对此类问题进行分析.

1 带电粒子在圆形磁场区域内运动

图1

例1如图1,一带电质点质量为m,电荷量为Q,以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域.为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出,可在适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场.若此磁场仅分布在一个圆形区域内,试求这圆形磁场区域的最小面积.重力忽略不计.

图2

解析质点在磁场中做半径为R的圆周运动,则有QvB=mv2/R,解得R=mv/QB.根据题意,质点在磁场区域中的轨道是半径等于R的圆上的1/4圆周,这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切.过a点作平行于x轴的直线,过b点作平行于y轴的直线,则与这2条直线均相距R的O′点就是圆的圆心.如图2所示,质点在磁场区域中的轨迹就是以O′为圆心、R为半径的圆上的圆弧MN,M点和N点应在所求圆形磁场区域的边界上.

点评求解圆形磁场最小面积的关键是要找到圆心和粒子射入、射出磁场边界的临界点,圆心必在两临界点速度方向垂线的交点上,并且圆心到这2个临界点的距离相等,同时还需要明确所求最小圆形磁场的直径等于粒子运动轨迹的弦长.

2 带电粒子在矩形磁场区域内运动

图3

(1) 电子经过Q点的速度v;

(2) 该匀强磁场的磁感应强度B和磁场的最小面积S.

解析(1) 电子从P点开始，在电场力作用下做类平抛运动到Q点.

水平方向:L-L/4=3L/4=v0t.

(2) 如图4所示,电子以与x轴负方向成30°进进入第四象限后,先沿QM做匀速直线运动,然后进入匀强磁场区域做匀速圆周运动,恰好以沿y轴正方向的速度经过O点.可知圆周运动的圆心O′一定在x轴上,且O′点到O点的距离与到直线QM上M点(M点即为磁场的边界点)的垂直距离相等,找出O′点,画出其运动的部分轨迹为弧MNO,这样磁场的右边界和下边界就确定了.

图4

点评电子在第一象限内运动类似于平抛运动,加速度a由电场力产生,水平方向为匀速直线运动,竖直方向为初速度为0的匀加速直线运动.电子在第四象限进入磁场中的运动,洛伦兹力提供向心力,圆心、半径、临界点的确定是关键,另外要注意数学知识在物理学中应用.

3 带电粒子在三角形磁场区域内运动

图5

例3如图5,一质量为m、带电荷量为+Q的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC.为了使该粒子能在AC边上的N点(CM=CN)垂直于AC边飞出三角形ABC,可在适当的位置加一个垂直于纸面向里,磁感应强度为B的匀强磁场.若此磁场也分布在一个正三角形的区域内,粒子的重力不计,求:

(1) 粒子在磁场中运动的半径和周期;

(2) 该粒子在磁场中运动的时间t;

(3) 该正三角形磁场区域的最小边长.

图6

(2) 由题意可知,粒子刚进入磁场时应该先向左偏转,不可能直接在磁场中由M点做圆周运动到达N点,当粒子刚进入磁场和刚离开磁场时,其速度方向应该沿着轨迹的切线方向并垂直于半径,如图6所示,粒子的运动轨迹为圆弧GDEF,圆心为O,G点为轨迹圆半径与初速度方向的切点,在F点为轨迹圆半径与出射方向的切点. 画出三角形abc,与圆弧在D、E2点相切,并与圆交于F、G2点,此为符合题意的最小磁场区域. 由数学知识可知∠FOG=60°,所以粒子在磁场中运动圆弧所对应圆心角为300°,由于ω=θ/t=2π/T,所以该粒子在磁场中运动的时间t=5T/6=5πm/3QB.

点评题中粒子运动轨迹和磁场边界临界点的确定比较困难,须将射入速度与从AC边射出速度的反向延长线相交后,根据运动半径已知的特点,再由几何知识才能确定.另外,在计算最小边长时一定要注意圆周运动轨迹并不是三角形磁场的内切圆.

4 带电粒子在树叶形磁场区域内运动

图7

例4如图7所示,ABCD是边长为a的正方形. 质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域.在正方形内适当区域中有匀强磁场. 电子从BC边上的任意点入射,都只能从A点射出磁场.不计重力,求:

(1) 此匀强磁场磁感应强度的方向和大小;

(2) 此匀强磁场区域的最小面积.

图8

点评本题情景设计简洁,但命题立意较高,难度大,涉及找角度、找圆心、找坐标、三角函数的应用、参数方程的建立,考查带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动、空间想象能力和应用数学知识解决物理问题的能力.以电子从C点进入为突破口,即可求解第(1)问,从其他位置进入,也一定是匀速圆周运动,并且半径相同.

高考物理在考查知识的同时注重考查能力,并把对能力的考查放在首要位置.其中应用数学知识处理物理问题的能力是高考考查的5种能力之一,要求能运用几何图形、函数图象进行表达、分析.带电粒子在有界磁场中的运动,是应用数学知识处理物理问题的典型模块,特别是求解磁场最小面积问题,能力要求较高,是近几年高考命题的热点之一.希望上述实例的分析解答对同学们的学习能起到潜移默化的效果.

宁夏六盘山高级中学)