洛伦兹力问题中运动半径的求解方法

2017-01-03河北陈宝友特级教师

高中数理化 2016年21期

关键词：强磁场洛伦兹磁感应

◇ 河北陈宝友(特级教师)

洛伦兹力问题中运动半径的求解方法

◇ 河北陈宝友(特级教师)

“磁场”是高中物理的主干内容,历年高考中必定出现,特别是带电粒子在匀强磁场中受到洛伦兹力的作用而使粒子做匀速圆周运动的问题,更是每年高考几乎必考的内容之一．

1 直接观察法

图1

例1磁谱仪是测量α能谱的重要仪器．磁谱仪的工作原理如图1所示,放射源S发出质量为m、电荷量为Q的粒子沿垂直磁场方向进入磁感应强度为B的匀强磁场,被限束光栏M限制在极小的角度内,α粒子经磁场偏转后打到与束光栏平行的感光片P上．(重力影响不计)若能量在E～(E+ΔE)(ΔE>0,且ΔE≪E)范围内的α粒子均垂直于限束光栏的方向进入磁场．试求这些α粒子打在胶片上的范围Δx.

所以能量在E～(E+ΔE)范围内的α粒子打在胶片上的范围为

2 三角函数法

由于洛伦兹力的方向跟带电粒子的运动方向垂直,因而很容易在此类问题中构建直角三角形,这就为利用三角函数求运动半径提供了便利条件,所以在已知相关角度的情况下我们可以灵活运用这种方法．

图2

例2如图2所示,一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场.现从矩形区域ad边的中点O处,垂直磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°、大小为v0的带电粒子.已知粒子质量为m,电荷量为Q,ad边长为l,重力影响不计.试求粒子能从ab边射出磁场的v0值．

图3

解析这是一道带电粒子在有界磁场中的运动问题,由于磁场边界的限制,粒子从ab射出磁场时速度有一定范围．当v0有最小值v1时,粒子速度方向恰与ab边相切;当v0有最大值v2时,粒子速度方向恰与cd边相切,轨迹示意图见图3．

因此,粒子能从ab边射出磁场的v0值为

3 勾股定理法

如上所述,在洛伦兹力问题中非常容易构建直角三角形,且在已知相关角度的情况下可以利用三角函数知识求得运动半径．但在实际问题中,有的并不知道有关夹角而明确了有关长度,这时我们就可以采用勾股定理求解运动半径．

图4

A3m·s-1;B3.75m·s-1;

C4.5m·s-1;D5m·s-1

得

①

(1) 若小球与挡板ON碰撞一次,则轨迹可能如图5-甲.设OO′=d,在△OO′M中,由勾股定理得:

r2=OM2+d2,

②

且

d=3r-ON.

③

联立式②、③得r1=3m， r2=3.75m, 分别代入式①得v1=3m·s-1, v2=3.75m·s-1.

(2) 若小球没有与挡板ON碰撞,则轨迹如图5-乙,设OO′=y,由勾股定理得

④

而

y=ON-r3.

⑤

图5

联立式④、⑤得r3=5m,代入式①得v3=5m·s-1,故本题正确答案为A、B、D.

4 正弦定理法

对于直角三角形而言,在已知任意两边的情况下可方便地求出第三边，但在三角形中不出现直角时,自然不能再使用勾股定理．此时如果已知任意两角度及其中一角的对应边,则可利用正弦定理求得另一角的对应边,并进而求得运动半径．

图6

例4在xOy平面内的第一、四象限中,x轴上方有范围足够大的匀强磁场,磁感应强度为B,方向垂直纸面向里,x轴下方有范围足够大的匀强电场,场强为E,方向与y轴正方向相反．在xOy平面内有一点M,M点到O点的距离为L,直线OM与x轴正方向的夹角为θ,如图6所示．现有1个电荷量为Q、质量为m的带负电粒子位于y轴负半轴上的某点,忽略粒子重力．

(1) 将粒子由静止释放,该粒子在第1次由磁场返回电场的过程中恰好通过M点,求该粒子在磁场中的运动半径．