用于脉冲噪音干扰下图像去模糊的L0极小化复原方法

王姗姗，乔 双，孙佳宁

(1.东北师范大学物理学院，吉林 长春 130024；2.东北师范大学数学与统计学院，吉林 长春 130024)

用于脉冲噪音干扰下图像去模糊的L0极小化复原方法

王姗姗1，乔 双1，孙佳宁2

(1.东北师范大学物理学院，吉林 长春 130024；2.东北师范大学数学与统计学院，吉林 长春 130024)

针对数字图像由于失焦模糊和脉冲噪音所带来的降质问题，提出了一种全新的图像复原方法.该方法将Tikhonov正则项引入到L0极小化模型，并借助交替方向法和变量分离法，给出了模型局部极小值点的快速数值求解算法.为了说明新方法的有效性，对后来的数值进行了实验，通过结合不同降质条件对新方法与其他已有方法的复原效果进行了比较.实验结果表明，新方法不仅在常规降质条件下提供了较好的复原效果，而且在面对高强度的脉冲噪音降质时，其他方法已经失效，新方法仍能提供稳健的复原结果.

图像降质；脉冲噪音；模糊；图像复原；L0极小化

0 引言

由于数字图像在成像过程以及后期数据传输过程中必然受到一些物理条件的限制，这使得真实环境下获得的数字图像信号通常都会受到包括噪音、模糊等降质现象的干扰，从而使得图像的视觉质量变差，在图像可分辨的内容上缺少一些必要的细节，所以有效地实现数字图像自身内容的复原，降低乃至去除降质现象的干扰，对于诸多基于数字图像的应用领域[1-2]的研究显得十分重要.

作为最常出现的一种图像噪音形式，脉冲噪音的产生与数模转换过程中的AD转换错误、比特位错误以及强电磁场干扰有关.区别于其他噪音形式，遭受脉冲噪音干扰的像素位置的灰度值被彻底重置修改，严重时会导致图像上无规则的分布黑白亮暗点，导致图像失去原有的内容信息，使得图像质量下降.通常，脉冲噪音又可以被具体划分为椒盐脉冲噪音(salt-and-pepper impulse noise)和随机值脉冲噪音(random-value impulse noise).为更好地刻画这2种脉冲噪音形式，设gi，j和fi，j分别表示真实图像g与受脉冲噪音干扰的降质图像f在位置 (i，j) 处的灰度值，令数字图像g的真实灰度范围为 [dmin，dmax]，即gi，j∈ [dmin，dmax]，于是真实图像g与降质图像f在位置 (i，j) 处的灰度值关系可以表示为

(1)

式中：ni，j表示被脉冲噪音干扰时降质的像素灰度值，r为脉冲噪音发生的概率，也就是脉冲噪音的噪音强度.其中若对于所有的位置(i，j)有ni，j∈ {dmin，dmax}，则脉冲噪音为椒盐脉冲噪音；若ni，j∈ [dmin，dmax]符合一致分布的随机数时，则脉冲噪音为随机值脉冲噪音.

结合前面描述的脉冲噪音和公式(1)，可以给出如下完整的数学描述：设u= [ui，j]∈Rm×n为真实源图像，H是大小为r×r的模糊核，f= [fi，j]∈Rm×n为观测得到的降质图像，于是遭到模糊和脉冲噪音干扰的图像的降质过程可以表示为

f=Nr(g)，g=H⊗u.

(2)

式中⊗代表二维卷积算子，于是根据(2)式，遭到模糊和脉冲噪音降质的图像复原，就是要利用降质图像f和已知的H，复原出图像u.

目前，有关图像模糊和脉冲噪音降质的图像复原方法主要包括直接复原方法[3-5]和二相复原法(Two-Phase Method，TPM)[6-9].直接复原法操作依赖于数学模型对图像内容的先验假设，进而实现对脉冲噪音降质位置的辨识和逐步复原；TPM则是通过对脉冲噪音降质位置进行识别并认定为信息缺失位置，进而将问题转化为图像修补问题.然而，无论是哪种方法都依赖于模型自身在区别脉冲噪音与图像内容时的有效性，一旦丧失有效性，特别是当对于脉冲噪音降质像素位置的误识率过高时就会导致复原失败.因此目前多数方法无法有效应付高强度随机值脉冲噪音下的图像去模糊复原，本文则具体针对遭到模糊和脉冲噪音降质的图像复原问题提出了一种新的方法，可以实现更高强度随机值脉冲噪音下的图像去模糊复原.

1 基于L0极小化的复原模型

作为一类典型的复原问题，噪音环境下的图像去模糊复原问题无法采用直接的逆变换手段，相关的方法研究通常采用正则化模型为

(3)

式中：Φreg(u)为正则项，在复原操作中用于保持图像的稀疏结构，本文采用了Tikhonov正则化项；Φfit(u) 为数据拟合项；μ>0为调节参数，可以调整Φreg(u)和Φfit(u)之间的平衡.为了方便讨论，记图像u中所有的位置(i，j)的集合为Ω，设∂xu和∂yu分别表示沿水平方向和垂直方向的差分，即对于(i，j)∈Ω，定义：

结合最近有关L0极小化模型的研究，本文提出了一种结合Tikhonov型变分正则化项的L0极小化复原模型为

(4)

关于(4)式的极小值求解可以通过交替方向法(ADM)，即给定变量u求解v，给定变量v求解u，如此反复迭代计算，直到满足计算终止条件.于是对于第k步迭代已有uk和vk，我们可以将(4)式转化为：

(5)

(6)

众所周知，关于L0范数的极值求解是一个N-P困难的问题，然而关于子问题(5)的求解，由于其中‖v‖0的定义形式是变量可分离的，于是将(5)式的求解转换成

(7)

(8)

(9)

(10)

式中：F表示2D Fourier变换；F*表示F的共轭；F-1是Fourier逆变换；变量之间均是点对点的乘法、除法和加法.

综合以上推导过程给出如下的迭代步骤：

输入：图像f，参数μ，β，k，迭代上限kmax；

初始化：u0←f，k=0；

重复；

已知uk，利用公式(10)求解vk+1；

已知vk+1，利用公式(10)求解uk+1；

k=k+1；

直到k=kmax；

输出：复原图像u.

2 数值实验

在以下的数值实验中，选择了2种比较典型的脉冲噪音环境下的图像去模糊复原方法，即TVL1[3]和TPM[7]2种方法与本文方法进行了比较，以说明本文方法的可行性与有效性.而就数值实验的复原结果对比，采用通用的客观评价标准——峰值信噪比(PSNR)进行了评估，即

(11)

式中：u表示复原图像，u0表示真实图像，图像的大小为mn.为了保证实验的公平性，选用3幅通用的标准测试图像Lena，Mandrill和Barbara(见图1)，测试图像大小为256像素×256像素，所有的数值实验都是在Windows 7 32-Bit 环境下的MATLAB 7.14(R2012a)平台上完成的，在测试中，统一采用由MATLAB软件原有的fspecial(‘average’，7)作为图像模糊核.图2给出椒盐脉冲噪音强度为90%的图像复原结果，对比原始图像可以看出，在高强度脉冲噪音干扰下，本文方法在复原效果上更接近原始图像，同时还给出了在椒盐脉冲噪音强度分别为30%，50%，70%和90%不同情况下的PSNR对比(见表1)，最优值见表1 黑体字，这样可以从更加客观的角度更加直观证明本文方法的有效性.图3给出随机值脉冲噪音为80%的图像复原结果，再次验证了对于较难去除的随机值脉冲噪音污染下本文方法的适用性，同时噪音强度为40%，55%，65%和80%的复原结果的PSNR见表2.

图1 原始图像

图2 椒盐脉冲噪音为90%时本文方法的复原结果

方法Lena30%50%70%90%Mandrill30%50%70%90%Barbara30%50%70%90%TVL128.8627.1324.5018.2421.4920.5319.2815.4823.5723.0321.6916.26TPM35.0832.5630.0926.6724.2722.8921.6320.2326.4625.5124.0122.65本文方法36.4332.9629.9626.6330.9328.0625.6023.3534.1831.5729.0025.76

图3 随机值脉冲噪音为80%时本文方法的复原结果

方法Lena30%50%70%90%Mandrill30%50%70%90%Barbara30%50%70%90%TVL127.8224.8422.4316.6421.0120.0319.4018.0523.2921.6519.6716.40TPM31.5227.8424.5518.1122.6420.5920.1518.8824.4123.2121.9718.11本文方法32.6529.7128.1924.8428.0925.7724.6222.4631.3128.6727.4324.00

3 结论

针对数字图像中受脉冲噪音污染的图像降质问题提出了一种结合Tikhonov正则项和L0极小化模型的复原方法.MATLAB仿真软件的多次实验表明：新方法比现有的复原方法在PSNR数值评判上有较为明显的提升，不仅针对椒盐脉冲噪音达到现有复原方法的较高水平，对于较难去除的随机值脉冲噪音的复原也有了新的突破；复原结果保留了图像的边界纹理特征，使得图像的有用信息能够实现不失真复原.

[1] WANG Q，QIAO S.Richardson-Lucy与调制核相结合的图像复原方法[J].东北师大学报(自然科学版)，2014，46(1)：66-70.

[2] GAI J，LIU X H，LI R J，et al.基于LBP的图像集人脸识别算法[J].东北师大学报(自然科学版)，2015，47(4)：84-87.

[3] CHAN R H，TAO M，YUAN X M.Constrained total variation deblurring models and fast algorithms based on alternating direction method of multipliers [J].SIAM Journal on Imaging Sciences，2013，6(1)：680-697.

[4] YANG J F，ZHANG Y，YIN W T.An efficient TVL1 algorithm for deblurring multichannel images corrupted by impulse noise [J].SIAM Journal on Scientific Computing，2009，31(4)：2842-2865.

[5] GUO X，LI F，YIN W T.A fast L1-TV algorithm for image restoration [J].SIAM Journal on Scientific Computing，2009，31(3)：2322-2341.

[6] KAYHAN S K.An effective 2-stage method for removing impulse noise in images [J].Journal of Visual Communication Image and Representation，2014，25(2)：478-486.

[7] CAI J F，CHAN R H，NIKOLOVA M.Two-phase approach for deblurring images corrupted by impulse plus gaussian noise [J].Inverse Problem and Imaging，2008，2(2)：187-204.

[8] CHAN R H，DONG Y Q，HINTERMULLER M.An efficient two-phase L1-TV method for restoring blurred images with impulse noise [J].IEEE Transactions on Image Processing，2010，19(7)：1731-1739.

[9] CAI J F，CHAN R H，NIKOLOVA M.Fast two-phase image deblurring under impulse noise [J].Journal of Mathematical Imaging and Vision，2010，36(1)：46-53.

(责任编辑：石绍庆)

L0 minimization based restoration method for deblurring images corrupted by impulse noise

WANG Shan-shan1，QIAO Shuang1，SUN Jia-ning2

(1.School of Physics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China；2.School of Mathematics & Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China)

This paper studies the problem of image restoration of blurred image corrupted by impulse noise.We propose a novel L0 minimization restoration method combined with Tikhonov regularization and solve it by utilizing alternating direction method and variable-spliting method.With a derived iteratively upgrading algorithm，a local optimal solution can be obtained.To illustrate effectiveness of the new method，plenty of numerical experiments are presented，which shows that the proposed method is not only superior to the existing models in PSNR performance，but it can be still efficient even under high intensity impulse noise while others fail.

image degradation；impulse noise；blurring；image restoration；L0 minimization

1000-1832(2016)04-0073-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.04.016

2015-09-10

国家自然科学基金资助项目(11275046，11305034)；国家重大科学仪器设备专项基金资助项目(2013YQ040861).

王姗姗(1991—)，女，硕士研究生；通信作者：乔双(1963—)，男，博士，教授，主要从事核电子学、嵌入式应用、图像处理与模式识别研究.

TP 391 [学科代码] 520·60

A