污染环境下随机食物有限种群系统的生存分析

夏 兰，赵亚男

(1.吉林大学计算机科学与技术学院，吉林 长春 130012；2.吉林交通职业技术学院基础部，吉林 长春 130012；3.长春大学理学院，吉林 长春 130022)

污染环境下随机食物有限种群系统的生存分析

夏 兰1，2，赵亚男3

(1.吉林大学计算机科学与技术学院，吉林 长春 130012；2.吉林交通职业技术学院基础部，吉林 长春 130012；3.长春大学理学院，吉林 长春 130022)

讨论了在白噪声扰动下污染环境中的食物有限种群系统，得到了随机系统随机强平均持久性和局部灭绝性的充分条件.与确定性系统比较，结果表明环境白噪声对种群系统生存具有一定影响，且影响程度与白噪声强度相关.

随机种群系统；局部灭绝；随机强平均持久；白噪声

1 预备知识

随机微分方程是随机分析中十分活跃的研究领域.相比于确定性的生物数学模型，在现实生态环境中的种群系统不可避免地受到环境白噪声的干扰.因此，讨论关于环境白噪声的存在是否会影响种群系统以及是否会使已知的结果发生变化的问题已受到广泛关注.近年来，随着人类社会的发展，由工业生产和人类活动所造成的环境污染问题日趋严重，20世纪80年代Hallam等学者就开展了此方向的研究工作，一直到现在相关的成果仍不断涌现.[1-3]因此考虑在污染环境中建立相应的生物数学模型并进行生存分析是十分必要的.

Smith[4]建立了“食物有限”种群模型

(1)

(2)

(3)

模型中其他参数的含义与前面相同.本文将研究污染环境中的生物种群持续生存或灭绝的充分性条件，反映环境白噪声对其生长规律的影响.文中采用记号：

2 局部灭绝性

证明 令y=lnx，由伊藤公式可得

两边积分并除以t，得

(4)

(5)

3 随机强平均持久性

从而

将上式从T到t积分，并由积分中值定理有

两边取对数得

这就意味着

令t→+∞，应用(5)式得

由ε的任意性，

4 结论

[1] HALLAM T G，MA Z.Persistence in population models with demographic fluctuations[J].J Math Biol，1986，24：327-339.

[2] HE J，WANG K.The survival analysis for a single-species population model in a polluted environment[J].Appl Math Model，2007，31：2227-2238.

[3] HE J，WANG K.The survival analysis for a population in a polluted environment[J].Noni Anal Real World Appl，2009，10：1555-1571.

[4] SMITH F E.Population dynamics in Daphnia magna and a new model for population growth[J].Ecology，1963，44：651-663.

[5] 王克.随机生物数学模型[M].北京：科学出版社，2010：134-157.

[6] JIANG D Q，SHI N Z，ZHAO Y N.Existence uniqueness and global stability of positive solutions to the food-limited population model with random perturbation[J].Math Comput Model，2005，42：651-658.

[7] 赵亚男，夏兰，张晓颖.具有随机扰动的SIQS传染病系统的渐进行为[J].吉林大学学报(理学版)，2013，51(4)：591-594.

[8] JIANG D Q，SHI N Z，LI X Y.Global stability and stochastic permanence of a nonautonomous logistic equation with random perturbation[J].J Math Anal Appl，2006，340：588-597.

[9] 赵亚男，王宇，夏兰，等.随机SIQS传染病系统的灭绝性和遍历性[J].吉林大学学报(理学版)，2013，51(6)：1081-1084.

[10] JI C Y，JIANG D Q，SHI N Z.Multigroup SIR epidemic model with stochastic perturbation[J].Physica A，2011，390：1747-1762.

[11] ZHAO Y N，JIANG D Q.The asymptotic behavior and ergodicity of stochastically perturbed SVIR epidemic model[J].International Journal of Biomathematics，2016，9(3)：1-14.

[12] ZHAO Y N，LIN Y G，JIANG D Q，et al.Stationary distribution of stochastic SIRS epidemic model with standard incidence[J].Discrete and Continuous Dynamical Systems，2016，21(7)：2363-2378.

(责任编辑：李亚军)

Survival analysis of stochastic food limited population system in polluted environment

XIA Lan1，2，ZHAO Ya-nan3

(1.College of Computer Science and Technology，Jilin University，Changchun 130012，China；2.Department of Basic，Jilin Communications Polytechnic，Changchun 130012，China；3.School of Science，Changchun University，Changchun 130022，China)

The food limited population system with the disturbance of environmental white noise in polluted environment is discussed.The sufficient conditions for the local extinction and stochastic strong average persistence of stochastic systems are obtained.Compared with deterministic system，it shows that environmental white noise has some impact on the survivability of population system，and also associated with the intensity of white noise.

stochastic population system；local extinction；stochastic strong average persistence；white noise

1000-1832(2016)04-0036-04

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.04.008

2015-08-28

教育部春晖计划资助项目 (Z2015014)；吉林省教育科学“十二五”规划课题项目(GH150104).

夏兰(1978—)，女，硕士，讲师，主要从事微分方程研究.

O 211.63 [学科代码] 110·6460

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