光滑映射芽的RL-有限决定性

董艳青，何瑞瑞，刘恒兴

(武汉大学数学与统计学院，湖北 武汉 430072)

光滑映射芽的RL-有限决定性

董艳青，何瑞瑞，刘恒兴

(武汉大学数学与统计学院，湖北 武汉 430072)

为研究实空间上光滑映射芽RL-等价关系下的相关问题，需要讨论光滑映射芽的RL有限决定性.讨论及计算了光滑映射芽在群RL-作用下的轨道切空间，得到了光滑映射芽的RL-有限决定的充分必要条件.

光滑映射芽；RL-有限决定；RL-等价关系；切空间；向量场

0 引言

映射芽的有限决定性问题是奇点理论中的一个基本问题.若ε0(n，p)表示从(Rn，0)到(Rp，0)的全体光滑映射芽构成的环，对于一个给定的等价关系E，称f∈ε0(n，p)是r-E-决定的，意指对任意的g∈ε0(n，p)，如果g与f有相同的r阶Taylor多项式，那么f是E-等价于g的.Mather[1]讨论了光滑映射芽f：(Rn，0)→(Rp，0)在群L，R，C，A和K作用下的有限决定性问题，并给出了它们的有限决定的充要条件.

1 光滑映射芽在群RL作用下的轨道切空间

光滑函数芽f的“切空间J(f)”为研究光滑函数芽的R-决定性提供了重要信息.因此，有必要对映射芽f∈Mn+1×(Mn+1g)p-1的轨道RL·f在f处的切空间予以讨论.

首先考虑f0∈Mn+1×(Mn+1g)p-1的切空间.

(1)

F∘Φ=1(R，0)×f0.

(2)

(3)

(4)

又

其中Dft表示ft关于点(x，y)处的Jacobian矩阵.则(4)式可表示为

即

(5)

若记

定义1.2 设f∈Mn+1×(Mn+1g)p-1，轨道RL·f在f处的切空间TRL(f)定义为

引理1.1[5]设G是代数作用在一个光滑代数簇M上的代数群，则对应的轨道是M中的光滑拟代数子集.

定义1.3

记：

故

命题1.1蕴含了定义1.2是合理的.

2 光滑映射芽的RL-有限决定性

定理2.1 设f∈Mn+1×(Mn+1g)p-1.

为证明定理2.1，需要下面一些结论.

引理2.1 设f，g∈Mn+1×(Mn+1g)p-1，且具有相同的l-导网，则

由引理2.1，易得下面结论.

对单参数族映射芽，有类似的逼近引理.

又由于

(2)的证明类似于引理2.2的证明.

证明 其证明过程和文献[4]中引理10.2.5的证明过程类似，此处略去.

证明 因

使得

(6)

(7)

(7)式对应的微分方程为

在证明定理2.1之前，我们先给出由文献[4]定义的一个映射

Tjlf{jlg∈Jln+1，p|jrf=jrg}⊂Tjlf{jlg∈Jln+1，p|f～RLg}.

由文献[4]可知

取l=r+1，由Nakayama引理有

故结论(1)成立.

(8)

令F=1(R，0)×ha，其中1(R，0)是R上的恒同映射芽.根据引理2.4，

则f是RL-有限决定的.

类似计算得

从而f是R-有限决定的.

则f不是RL-有限决定的.

同样可以算得

从而f是R-有限决定的.

上面的两个例子说明，RL是更细于R的一个关系，因此可以利用群RL对Mn+1×(Mn+1g)p-1⊂ε0(n，p)中的映射芽来进行分类.

[1] MATHER J.Stability ofC∞mappings Ⅲ：finitely determined map-germ[J].Pulb Math IHES，1969，35：127-156.

[2] SIERSMA D，JIANG G F.Local embeddings of lines in singular hypersurfaces[J].Ann Inst Fourier，1999，49(4)：1129-1147.

[3] SIERSMA D.Isolated line singularities[J].Proc Sympos Pure Math，1983，40：485-496.

[4] 李养成.光滑映射的奇点理论[M].北京：科学出版社，2002：159-182，207-220.

[5] DIMCA A.Topics on real and complex singularities[M].Braunschweing：Fried Vieweg and Sohn，1987：30-42.

(责任编辑：李亚军)

Finite determinacy of smooth map germs under group RL

DONG Yan-qing，HE Rui-rui，LIU Heng-xing

(Department of Mathematics and Statistics，Wuhan University，Wuhan 430072，China)

In order to explore the relevant problems of smooth map germs under RL-equivalence，it is vital to discuss the RL-finite determinacy of smooth map germs.In this paper，the tangent space to orbit of smooth map germs under group =RLis calculated，and a necessary and sufficient condition with respect to RL-finite determinacy of smooth map germs is given.

smooth map germs；finite RL-determinacy；RL-equivalence；tangent space；vector field

1000-1832(2016)04-0027-09

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.04.007

2015-06-28

国家自然科学基金青年项目(11501103)；国家自然科学基金资助项目(11201346).

董艳青(1990—)，女，硕士，助教，主要从事奇点理论研究；何瑞瑞(1990—)，女，硕士，主要从事奇点理论研究；刘恒兴(1961—)，男，副教授，主要从事奇点理论研究.

O 192 [学科代码] 110·3155

A