积分形式的Minkowski不等式和逆Minkowski不等式的证明

高云天　霍云霄

摘要：Minkowski（闵可夫斯基）不等式在数学诸多领域中都有着重要的作用。本文首先证明了杨格不等式、积分形式的赫尔德不等式和逆赫尔德不等式，然后通过赫尔德不等式和逆赫尔德不等式证明了积分形式下的Minkowski不等式及逆Minkowski不等式。

关键词：杨格不等式；赫尔德不等式；逆赫尔德不等式；Minkowski不等式；Minkowski不等式

doi：10.16083/j.cnki.1671-1580.2016.08.054

中图分类号：0178

文献标识码：A

文章编号：1671-1580（2016）08-0172-03

Minkowski不等式在最优化控制，偏微分方程，泛函分析等领域中有着重要的应用。Minkowski不等式从提出（离散形式）到现在的一百多年的时间里，人们对Minkowski不等式进行不断研究，得出了多种推广形式，研究者们对Minkowski不等式证明也提出了多种方法。Minkowski不等式的积分形式是由里斯Riesz，F提出的，后来为建立L^p空间理论起到了重要的工具作用。

杨格不等式、赫尔德不等式和闵可夫斯基不等式之间有着密切的联系，本文首先证明了杨格不等式，然后利用杨格不等式证明出了赫尔德不等式，利用赫尔德不等式证明出了逆赫尔德不等式，再通过赫尔德不等式和逆赫尔德不等式推导出闵可夫斯基不等式和逆闵可夫斯基不等式。

三、结语

杨格不等式和赫尔德不等式、闵可夫斯基不等式都是重要的经典不等式，在数学诸多领域中都有着重要的作用，正是因为其重要性，研究者们在不断探索这些不等式的证明和其推广形式，其应用也越来越广泛。闵可夫斯基不等式主要有离散型闵可夫斯基不等式、积分型闵可夫斯基不等式和正定矩阵型闵可夫斯基不等式以及多种的推广形式。作为学者的我们不仅要学会证明这些重要的不等式，还要学会如何应用它们。