离散化代数重建的全变差算法改进

张 蕾，徐伯庆

(上海理工大学 光电信息与计算机工程学院，上海 200093)



离散化代数重建的全变差算法改进

张 蕾，徐伯庆

(上海理工大学 光电信息与计算机工程学院，上海 200093)

文中提出一种离散化代数重建的全变差改进算法，主要针对离散化的代数重建算法易受到噪声等因素的影响而使图像边缘较为模糊的问题，利用全变差最小化的约束条件，提出一种改进的DART重建算法。实验表明，该算法与传统ART算法相比，能较快重建出图像，与DART算法相比，改善图像边缘模糊的情况，具有较好的抗噪性。

图像重建；DART；TV

计算机断层成像技术(CT)无论在医学放射诊断还是在工业领域均有着广泛应用[1]。根据Radon变换得到的投影数据来重建图像的算法主要分为两类：解析算法和迭代算法。解析算法中较有名的是滤波反投影(Filtered Back Projection, FBP)算法[2-3]，分辨率高，成像速度快，目前仍应用广泛，但要求投影数据采集密集。迭代算法主要是代数重建(Algebraic Reconstruction Algorithm，ART)算法[3-4]，其结构简单；缺点是计算量较大，重建速度慢，对计算机的内存和运算速度要求较高。

ART算法改进的关键是加快迭代收敛速度和减少迭代次数。影响ART算法的因素有以下几点：投影系数的求取、投影次序的访问顺序、松弛因子以及先验知识的影响等[5-6]。实际医学CT中的图像通常仅由两种或几种已知的灰度值组成，利用这些先验知识便可降低重建条件，从更少的投影数据,或相同投影数据下迭代次数少时，更精确地重建图像。近年来，由K. J. Batenburg 等人[7-8]提出的离散迭代算法(Discrete Algebraic Reconstruction Technique, DART)就是利用该先验知识，在加快了迭代收敛速度和减少迭代次数方面取得了显著效果，但DART算法受到噪声影响会使得图像边缘比较模糊，本文提出的DART改进算法就是基于有限灰度值的先验知识快速重建图像，并利用全变差(Total Variation，TV)最小化约束[9-10]进一步抑制噪声，使得图像边缘更加清晰。

1 算法理论

1.1 ART算法原理

设f(x,y)为待重建图像，将一个n×n的方形网格叠加到f(x,y)上，每个网格内的f值均为常量，如图1所示。

图1 重建图像坐标示意图

扫描射线可由式xcosθ+ysinθ=t表示，其中θ为射线与x轴所夹的角，t为原点到射线的距离。射线宽度为δ。投影值函数，即Radon变换可由式(1)表示

(1)

在ART重建过程中，设射线数目为M，所得到的投影数据p={p1,p2,…pM},pi为第i条射线的投影值。wij为第i条射线与第j个像素网格所交的面积，称为投影系数

(2)

投影值向量和原图像的关系可由式(3)的代数方程组表示

(3)

W(M×N)称为投影系数矩阵。式(2)的矩阵形式如下

W·F=P

(4)

ART迭代算法最初于1937年由Kaczmarz[11]提出。其基本思想是松弛法，首先设定一列初值F(0)，然后代入式(5)进行迭代

(5)

其中，i=0,1,2,…,M,k为当前迭代次数，j∈(1,N)，λ为松弛因子。经过反复迭代式(5)，不断修正重建值来获取较精确的重建图像。

1.2 DART算法原理

由于实际医学重建或工业无损检测中，被测图像通常仅由一个或有限个灰度值组成，因此图像重建问题可简化为离散断层成像(Discrete Tomography，DT)。近年来，由K. J. Batenburg 等人[7-8]研究的基于ART迭代的DART重建算法有显著的效果。

设原图像的灰度值取值范围为V={v1,v2,…v1},定义临界值υ={υ1,υ2,…υ1}，其中

(6)

通过上述定义设函数T对图像像素值进行离散化

(7)

以二值图像为例，DART算法的具体步骤如下：

(1)首先对待测图像进行ART迭代获得初始迭代值F(0)；

(2)通过式(7)对F(0)进行离散化，得到离散像素值S(0)=TF(0)；

(3)根据8连通域方法将图像分割为边缘像素点集合B和平滑区域集合I(若像素点与其8邻域中至少有一个像素点的像素值不同，则称其为边缘像素点，否则为平滑区域)；对F(0)做如下处理

(8)

(4)以处理后的F(0)作为初始值重新利用式(5)进行ART迭代得到F(1)，更新F(1)，保持平滑区域I值不变，即

(9)

(5)重复步骤(2)到步骤(4)。

1.3 全变差(TV)原理

实际图像重建过程中，会不可避免地受到噪声影响，因此去噪问题非常重要。由Rudin等人提出的全变差(TV)图像去噪模型[12-13]已在图像复原领域得到广泛的应用和研究。目前，有诸多方法可用来最小化全变差图像去噪模型的能量函数[14-15]。

去噪模型可表示为

min‖F‖TV,s.t.W·F=P

(10)

式(10)与式(4)是对应的。由式(10)可知，求解min‖F‖TV是关键。而实际min‖F‖TV不能直接计算得到，一般均是通过用范数L1来求解

‖F‖TV=‖F‖l=∑xy|Fx,y|

(11)

(12)

L1范数是图像所有像素点的像素值之和，可通过梯度下降法获取，过程如下

(13)

其中，ε=10-8。通过上式可求得min‖F‖TV。

2 算法改进

本文在上述算法的基础上提出DART +TV算法，在DART算法迭代过程中加入TV约束，抑制噪声，使得图像边缘更加清晰。

在DART+TV算法的实现过程中：首先利用DART对图像像素迭代值进行离散化，并通过比较八邻域像素值区分边缘区域B和平滑区域I,若像素点属于平滑区域I，则其像素值赋值为离散化后的值，否则其像素值保持迭代值不变，将处理后的整幅图像像素值重新进行ART迭代，只更新边缘区域B的值保持平滑区域I内的值不变，然后用全变差(TV)最小化约束条件对图像像素值进行处理，然后对此图像进行下一步DART迭代处理，直至像素值满足约束条件则循环结束。算法步骤如下：

图2 本文算法流程图

算法流程图如图2所示。(1)首先对待测图像进行ART迭代获得初始迭代值F(0)；(2)通过式(7)对F(0)进行离散化，得到离散像素值S(0)=TF(0)；(3)根据8连通域方法将图像分割为边缘像素点集合B和平滑区域集合I(若像素点与其8邻域中至少有一个像素点的像素值不同，则称其为边缘像素点，否则为平滑区域)；对F(0)做如下处理;(4)以处理后的F(0)作为初始值重新利用公式进行ART迭代得到F(1)，更新F(1))，保持平滑区域I值不变；(5)利用式(12)对F(1)通过梯度下降法求导，进行最小化约束；；(6)重复步骤(2)～步骤(5)。

3 实验结果

接下来给出3组实验，用于对传统ART算法和DART算法和利用全变差(TV)约束处理的DART改进算法进行比较，以说明改进后的算法的优势，在每组实验中，投影角度均每隔 取值。

(1) 第1组实验。在这组实验中，使用的原图像是分辨率为 的正方形二值模型，如图3(a)所示。图3中分别列出了传统ART算法与DART算法和DART改进算法迭代后的结果。

图3 实验结果图

如图3 (a)是原始图像，图3(b)是直接进行ART迭代的实验结果，图3(c)是进行DART迭代的实验结果，图3(d)图是进行DART改进算法迭代的实验结果。

实验中，本文用峰值信噪比(PSNR)值来定量评价重建图像与原始图像的误差，客观评价出重建图像的质量。表1显示了3种算法的实验参数指标对比，参数PSNR值越大说明图像噪声越小，图像质量越好，k为迭代次数。

表1 参数指标对比图

从表1的实验结果可看出，本文算法和传统ART算法和DART算法相比均有所改进。

(2) 第2组实验。在这组实验中，使用的原图像是分辨率为 的正方形四灰度值模型。I=zeros (100,100);I(10:30,10:30)=1;I(10:30,60:80)=2;I(60:80,10:30)=3;I(60:80,60:80)=1。

图4分别列出了传统ART算法、DART算法和DART改进算法迭代后的结果。

图4 实验结果图

图5 PSNR曲线对比

图5中画出了3种算法的PSNR值随迭代次数的变化曲线图。

(3) 第3组实验。在这组实验中，使用的原图像是分辨率为 的Shepp-Logan模型，如图6(a)所示。

图 6 中分别列出了传统ART算法与DART算法和DART改进算法迭代后的结果。

图6 实验结果图

图7 PSNR曲线对比

图7为3种算法的PSNR值随迭代次数的变化曲线图。

(4) 实验分析。在以上3组实验中，第1、2组采用的是灰度级较少的两幅图像，而第3组采用的是较为复杂的图像。从这3组实验的PSNR值变化曲线可看出，使用改进的DART算法能比传统的ART算法和DART算法较快地达到较好的质量，改进后的算法在前几次迭代时重建质量提高得比较快，一般迭代5、6次后PSNR值趋于平稳。

尤其从1、2组的比较中可明显看出，当原图像的灰度值较少时，使用DART改进后的算法在重建效果方面有大幅提高。

4 结束语

图像重建领域追求的是重建质量和重建速度这两个指标。本文利用一般待重建图像灰度级较少的先验条件，对迭代初值进行离散化分割，将重建问题简单化，并利用全变差约束条件，改善边缘模糊的情况，且在仿真实验中证实了其相对于传统ART算法和DART算法的优势，即重建质量提高了、更少的迭代次数就能达到较好的质量，这正契合了改进的目标。

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An Improved Reconstruction Algorithm for Discrete Tomography

ZHANG Lei，XU Boqing

(School of Optical-Electrical and Computer Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China)

This paper presents an improved discretization Algebraic Reconstruction algorithm which bases on Total Variation, mainly for discretization Algebraic Reconstruction (DART) algorithm is easily affected by factors such as noise and make the problem of image edge blurred, using Total Variation (TV) to minimize the constraints, an improved DART Reconstruction algorithm. Experiments show that the algorithm is compared with the traditional ART algorithm, can quickly reconstruct image, compared with the DART algorithm, improved the condition of image edge blur and has good noise resistance.

image reconstruction; DART; TV

10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2016.12.034

2016- 02- 01

张蕾(1991-)，女，硕士研究生。研究方向：信号与信息处理。徐伯庆(1958-)，男，博士，副教授。研究方向：通信及图像处理。

TP391.41

A

1007-7820(2016)12-121-05