数学期望考题的新动向

■陕西省神木县职业技术教育中心

高 平



数学期望考题的新动向

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高 平

近年来高考考查离散型随机变量的数学期望的试题，具有内容新、背景新、结构新、实际应用性强等特点。下面结合实例谈谈近年高考考查数学期望的新动向，供同学们参考。

一、取材新

不难发现数学期望的试题也融入新课标的教育理念，多角度、多视点地考查同学们的数学素养。关注学生生活，注重社会现实，体现时代精神，体现社会热点，关注当前科技新发展，试题中有大量的生活背景，充分体现了“从生活走向数学，从数学走向生活”的理念。

(1)求出甲、乙所付租车费用相同的概率；

(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望Eξ。

则所付费用相同的概率为：

(2)设甲，乙两人所付的费用之和为ξ，ξ可为0,2,4,6,8。

分布列为：

ξ02468P18516516316116

二、情境新

例2 马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下：

X123P(ξ=x)？！？

请小牛同学计算ξ的数学期望。尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案Eξ=____。

解析：初看此题，与平时给出的分布列很是不同，第二行的概率值都没有给出，为同学们的答题设置了障碍。但尝试从基本思路出发解决本题，却发现非常简单：变量ξ的期望Eξ=1×?+2×!+3×?=4×?+2×!=2(!+2×?) ，而“!+2×?”刚好就是事件概率的性质——概率和为1，这样就能很快得出结果2。

例3 (2015年福建理科卷)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定。小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试。若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定。

(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望。

依题意得，X所有可能的取值是1，2，3。

所以，X的分布列为：

X123P161623

三、注重知识的交汇

在知识网络交汇点设计试题是高考数学命题的新特点和大方向，高考中的数学期望试题也不失时机地体现了这一动向。

例4 设S是不等式x2-x-6≤0的解集，整数m,n∈S。

(1)记使得“m+n=0成立的有序数组”为事件A，试列举A包含的基本事件;

(2)设ξ=m2，求ξ的分布列及数学期望Eξ。

解析：(1)由x2-x-6≤0得，-2≤x≤3，即S={x|-2≤x≤3}。由于整数m,n∈S且m+n=0，所以A包含的基本事件为(-2，2)，(2，-2)，(-1，1)，(1，-1)，(0,0)。

故ξ的分布列为：

ξ0149P16131316

(责任编辑 徐利杰)