把握定理特点 感受公式之美

丁有刚

二项式定理是安排在排列组合后的一个内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也是自成体系的知识块，为后续课程中的某些内容也起到一定的铺垫作用. 本文对二项式定理及其应用进行剖析，进一步加深大家对定理的认识和理解，从而达到灵活应用定理解决有关问题之目的.

研究定理、体会美感

1. 记定理

（1）二项式定理：[（a+b）x=C0nan+C1nan-1b+…][+Crnan-rbr+…+Cnnbn]，其中右端为[（a+b）n]的展开式.

（2）常用结论：

[（1+x）n=C0n+C1nx+C2nx2+…+Crnxr+…+Cnnxn.]

[（1-x）n=C0n-C1nx+C2nx2-…+Crn（-x）r+…+（-1）nCnnxn.]

2. 识通项

二项展开式的通项即[（a+b）n]展开式中的第[r+1]项：[Tr+1=Crnan-rbr（0≤r≤n，r∈N）.]

3. 认系数

二项展开式中各项的系数依次为[C0n，C1n，C2n，…，Cnn.]

4. 探性质

（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即[Cmn=Cn-mn].

（2）增减性：当[rn+12] （[n∈N*]）时，二项式系数递减.

（3）最大值：当[n]是偶数时，中间项是第[n2+1]项，它的二项式系数[Cn2n]最大；当[n]是奇数时，中间项有两项，即第[n+12]项和第[n+12+1]项，它们的二项式系数最大，且[Cn-12n=Cn+12n].

（4）系数和：

[C0n+C1n+…+Cnn=2n.]

[C0n+C2n+C4n+…=C1n+C3n+C5n+…=2n-1].

5. 研形式

二项式定理形式简洁优美，语言表达精炼.

（1）项数：项数为[n+1].

（2）各项次数：各项的次数都等于二项式的幂指数[n]，即[a]与[b]的指数的和为[n].

（3）字母排列：字母[a]按降幂排列；字母[b]按升幂排列.

（4）字母次数：从第一项开始，字母[a]的次数由[n]逐项减小1直到零，字母[b]的次数由零逐项增加[1]直到[n].

6. 辨异同

在[Tr+1=Crnan-rbr（0≤r≤n，r∈N）]中，[Crn]是该项的二项式系数，它与该项的系数是两个不同的概念. 前者是指[Crn]，只与[n]和[r]有关，且恒为正数；后者不仅与[n]和[r]有关，其值还与[a，b]有关，可正可负.

应用定理、体验收获

1. 逆用定理

例1 [C1n+C2n?6+C3n?62+…+Cnn?6n-1= .]

解析 ∵[（1+6）n=C0n+C1n?6+C2n?62+…+Cnn?6n]，

[∴C1n+C2n?6+C3n?62+…+Cnn?6n-1=16（C1n?6+C2n?62+…+Cnn?6n）]

[=16（C0n+C1n?6+C2n?62+…+Cnn?6n-1）=16[（1+6）n-1]=16（7n-1）.]

点拨 根据题设形式，结合二项式定理，我们构造[（1+6）n=C0n+C1n?6+C2n?62+C3n?63+…+Cnn?6n]，通过变形，逐步消除与题设形式的差异，从而得以逆用二项式定理求解.

2. 活用通项

例2 在二项式[（1x4+x23）n]的展开式中倒数第[3]项的系数为[45]，求含有[x3]的项的系数.

解析 由条件知，[Cn-2n=45]，即[C2n=45]，解得，[n=10]，或[n=-9]（舍去）.

由题意得，[Tr+1=Cr10（x-14）10-r（x23）r=Cr10x-10-r4+23r].

令[-10-r4+23r=3]，∴[r=6].

故含有[x3]的项是第[7]项，[T6+1=C610x3=210x3]，其系数为[210].

点拨 此例为求某项的系数问题，先由题意求出[n]是解题的突破口，进而利用通项公式求出[r]，最终再利用通项公式求得结果. 这里的二项式系数和通项公式是二项式定理的核心元素，应熟练掌握，并能灵活应用. 注意，在求解进程中，应先将根式化为指数式，以方便运算.

例3 求二项式[（x2+12x）10]的展开式中的常数项.

解析 由题意得，

[Tr+1=Cr10（x2）10-r（12x）r=Cr10（12）rx20-52r].

令[20-52r=0]，则[r=8].

所以，展开式中的常数项为第九项，

[T9=C810（12）8=45256].

点拨 此例是求常数项问题. 在通项公式中令[x]的指数为0，则该项就变为了常数项，由此求得[r=8]，也就自然求出了常数项.

例4 求二项式[（x-x3）9]展开式中的有理项.

解析 由题意得，

[Tr+1=Cr9（x12）9-r（-x13）r=（-1）rCr9x27-r6].

令[27-r6∈Z]（[0≤r≤9]），则[r=3]，或[r=9].

当[r=3]时，[27-r6=4]，[T4=（-1）3C39x4=-84x4].

当[r=9]时，[27-r6=3]，[T10=（-1）9C99x3=-x3].

所以，展开式中的有理项为[-84x4]，[-x3].

点拨 对于求有理项问题，应先得出通项公式，整理后使[x]的指数为整数即可. 求解过程中，要注意讨论或验证，防止出错.

3. 巧用二项式系数特点或性质

例5 若[（x2+1x3）n]展开式中偶数项系数和为[-256]，求[n].

解析 设[（x2+1x3）n]展开式中各项系数依次为[a0，a1，???an，]

[令x=-1]，则有[a0-a1+a2-a3+???+（-1）nan=0] ①.

[令x=1]，则有[a0+a1+???+an=2n] ②.

①-②得，[2（a1+a3+a5+???）=2n].

[∴a1+a3+a5+???=2n-1].

由题意得，[2n-1=256=28]，[∴n=9].

点拨 本题是利用“奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和”这一性质求解的，解题过程中用到了“赋值法”，此法是二项式定理中的一种重要方法，应熟练掌握，灵活应用.

例6 已知[（12+2x）n]，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数.

解析 由题意，[∵C4n+C6n=2C5n，][∴n2-21n+98=0.]

∴[n=7， 或n=14].

当[n=7]时，展开式中二项式系数最大的项是[T4]和[T5]，[T4]的系数为[C37（12）423=352]，[T5]的系数为[C47（12）324=70].

当[n=14]时，展开式中二项式系数最大的项是[T8]，[T8]项的系数为[C714（12）727=3432].

点拨 利用等差数列，求出[n=7或n=14]是解题的前提，然后利用“中间项二项式系数最大”的性质求解. 解题过程中，要注意“二项式系数”与“某一项的系数”的区别.