排列组合的性质及应用

陆久元

排列、组合的性质及其应用是高中数学相对独立的一个知识模块，在高考中占有特殊的位置，常以选择题或填空题的形式呈现，主要涉及对排列式或组合式的化简、求值、证明，有时也结合函数、方程、不等式以及二项式定理进行综合考查.本文从排列、组合的基本性质入手，列举与性质相关的几种常见应用问题，仅供参考.

化简与求值问题

例1 设[x∈N*]，求[f（x）=Cx-12x-3+C2x-3x+1]的值.

解析 由题意得，[2x-3≥x-1，x+1≥2x-3，] 即[2≤x≤4].

[∵x∈N*]，[∴x=2，或x=3，或x=4].

∴当[x=2]时，[f（x）=f（2）=4].

当[x=3]时，[f（x）=f（3）=7].

当[x=4]时，[f（x）=f（4）=11].

综上知，[f（x）]的值为4，或7，或11.

点拨 对于组合数[Cmn]，要注意[n≥m]这一隐含条件. 此例要先求出变量[x]满足的条件，进而求出[x]的值，最后求出代数式[f（x）]的值.

例2 计算：（1）[C210+C310+C410+…+C1010]；

（2）[C22+C23+C24+…+C210]；

（3）[A22+A23+A24+…+A210].

解析 （1）原式=[210-（C010+C110）=1013].

（2）原式=[C33+C23+C24+…+C210]=[C34+C24+…+C210]

=[C35+C25+…+C210]=…=[C311]=165.

（3）原式=[A22?（C22+C23+C24+…+C210）]=[A22?C311]=330.

点拨 对于（1）式，利用性质[C0n+C1n+C2n+…+Cnn][=2n]，采取添项消项法.对于（2）式，将[C22]巧妙换成[C33]，再利用性质[Cmn+1=Cmn+Cm-1n]逐项化简.对于（3）式，利用性质[Amn=Cmn?Amm]能迅速求值.此例技巧性较强，熟练掌握公式及应用（正用、逆用、变用）是解决问题的关键.

例3 求值：（1）[C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn]；

（2）[C02n-3C12n+9C22n-…+-32nC2n2n].

解析 （1）设[S=C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn] ①，

∵[Ckn=Cn-kn]，

∴[S=nCnn+n-1Cn-1n+…+3C3n+2C2n+C1n]，

=[nC0n+n-1C1n+…+3Cn-3n+2Cn-2n+Cn-1n] ②.

①+②得，[2S=nC0n+nC1n+…+nCn-1n+nCnn]

=[nC0n+C1n+…+Cn-1n+Cnn]=[n?2n]，

所以[S=12n?2n=n?2n-1].

（2）由于[a+b2n=C02na2n+C12na2n-1b+…+C2n2nb2n]，在此式中令[a=1，b=-3，]

则[1-32n=C02n?12n+C12n-3+C22n-32+…]

[+C2n-12n-32n-1+C2n2n-32n]

=[C02n-3C12n+9C22n-…+-32nC2n2n]，

故[C02n-3C12n+9C22n-…+-32nC2n2n=4n].

点拨 （1）因为[Ckn=Cn-kn]，而系数的顺序与组合数中取出的元素数相同，故可利用等差数列前[n]项和公式的证明方法——倒序相加法来求解. 另外由于[kCkn=nCk-1n-1]，故本题也可用转化通项法来解.

（2）对于一个组合数数列[Ckn]和一个等比数列[ak]，它们对应项乘积的和往往可以利用二项式定理的展开式，在等式两边赋予[a，b]适当的值来解.

解方程、证明恒等式问题

例3 已知[C2x25=Cx+725]，求[x]的值.

解析 由题意得，[2x=x+7]，或[25-2x=x+7]，即[x=7]，或[x=6].

经检验，[x=7]，或[x=6]即为所求.

点拨 形如[Cf（x）n=Cg（x）n]的方程，可利用性质转化为[f（x）=g（x）]或[f（x）+g（x）=n]求解，但需注意[f（x）≤n]，且[g（x）≤n].

例4 解方程组：[Cy+1x=52x，Cyx-1=10.]

解析 原方程组化为

[x！（y+1）！?（x-y-1）！=52x，（1）（x-1）！y！?（x-y-1）！=10，（2）]

由（2）[÷]（1）得，[y+1=4]，即[y=3]. （3）

将（3）代入[（2）]得，[（x-1）（x-2）（x-3）=60=5×4×3]，故[x=6].

故原方程组的解为[x=6，y=3.]

点拨 对于含排列数或组合数的方程和恒等式，既可以利用定义式求解，也可利用排列数、组合数的性质巧妙达到目的.除此之外，在化简的过程中还需用到一些运算技巧，如相除、相乘、代入等方法.

例5 求证：[1+12C1n+]…[+1n+1Cnn=][1n+12n+1-1.]

证明：∵[1k+1Ckn=1k+1?n！k！?（n-k）！]

[=1n+1?（n+1）！（k+1）！?[（n+1）-（k+1）]！][=1n+1Ck+1n+1，]

∴[Cknk+1=Ck+1n+1n+1].

令k=0，1，2，…，n，则有

[1=1n+1C1n+1，][12C1n=1n+1C2n+1，][13C2n=1n+1C3n+1，]…，[1n+1Cnn=1n+1Cn+1n+1.]

将以上各式左右两边分别相加得，

[1+12C1n+13C2n+]…[+1n+1Cnn=1n+1（C1n+1+C2n+1+]…[+Cn+1n+1）]= [1n+12n+1-1].

点拨 本题中各项组合数的系数是不同的，通常是转化通项（通项转化法）使其组合数的系数化为相同，然后再用二项式系数的性质或组合数的性质求解.

与不等式相关的问题

例6 （1） 解不等式：[Ax9>6Ax-29]；

（2）若[Cm-18>3Cm8]，求[m]的值.

解析 （1）由不等式可得，[0≤x≤9，0≤x-2≤9，9！（9-x）！>6?9！（9-x+2）！，]

其中[x∈N]，

即[0≤x≤9，2≤x≤11，（11-x）?（10-x）>6，]∴[2≤x<8]（[x∈N]）.

[∴x=2，3，4，5，6，7].

故原不等式的解集为[{2，3，4，5，6，7}].

（2）由题意得，[8！（m-1）！（9-m）！>3?8！m！（8-m）！]，

即[m>3（9-m）]，∴[m>274].

又[∵0≤m-1≤8，0≤m≤8，]且[m∈N]，于是，[m=7]或[m=8].

点拨 关于排列组合数不等式问题，一般先运用公式将组合数或排列数“展开”，然后运用阶乘的性质（如[n！=n?（n-1）！]）约分化简，最后得到一个熟知的一次或二次不等式进行求解.

排列组合的性质是排列组合内容的重要组成部分，虽然是选修内容，但在不等式、方程、二项式定理以及概率中都有重要应用.学好本节内容首先要理解排列组合的性质的含义，然后掌握一些组合数排列数的计算技巧（如化简、求和等），最后在解题的过程中注意题目中的隐含条件和细节，相信只要抓住这三点，勤加练习，学好本节内容并不困难.