基于遗传算法的压缩感知DOA测量矩阵设计

杨 洁, 刘朋露

(西安邮电大学 通信与信息工程学院， 陕西 西安 710121)



基于遗传算法的压缩感知DOA测量矩阵设计

杨 洁, 刘朋露

(西安邮电大学 通信与信息工程学院， 陕西 西安 710121)

基于格拉姆矩阵(Gram matrix)，利用遗传算法给出一种优化压缩感知波达方向测量矩阵的方法。对阵元进行不重复采样，构造测量矩阵；根据稀疏字典得到压缩感知DOA的感知矩阵，并由其构造格拉姆矩阵；以所得格拉姆矩阵非对角元素的平方和作为遗传算法的适应度值，利用遗传算法求解出最佳采样阵元。仿真实验显示，以所给方法设计的测量矩阵，在采样阵元较少且信噪较低的情形下，仍具有较好的DOA估计性能。

遗传算法；压缩感知；波达方向；测量矩阵；格拉姆矩阵

基于阵列稀疏采样的压缩感知波达方向(DOA)估计算法,先用测量矩阵对阵列的输出信号进行压缩采样，再借助稀疏恢复算法求得波达方向。解稀疏过程中，稀疏字典须满足一定正交性关系，且与测量矩阵尽可能地不相关。

测量矩阵包含随机测量矩阵和确定性测量矩阵。随机测量矩阵中的高斯矩阵和伯努利矩阵，都能以较大概率满足有限等距性质(Restrict Isometry Property, RIP)条件。但在实际应用中，随机数的产生对硬件有很高要求，随机测量矩阵的压缩投影和信号重构过程对系统有很高要求，而且，它只在统计意义下，以很高的概率满足RIP条件和弱相干性，难以保证每次稀疏恢复的精度。随机矩阵具有不确定性，以及它浪费存储资源和计算量大的缺点，严重影响着压缩感知DOA的估计结果。

针对测量矩阵与稀疏字典应尽可能不相关的要求，人们给出了许多优化测量矩阵的方法[1-8]。其中，部分优化方案涉及降低相干系数[5]，定义感知矩阵幂平均相关性[6]，引入最小化感知矩阵统计相关系数的波形优化目标函数[7]，或转而寻求确定性测量矩阵的构造[8]等。

考虑到实际应用中的物理可实现性和计算复杂度，在压缩感知DOA中构造的测量矩阵，还应尽可能少，且不重复地选取采样阵元。本文拟结合格拉姆矩阵(Gram matrix)的构造方法[1]，根据整体互相关系数，利用格拉姆矩阵来优化压缩感知DOA测量矩阵，并利用遗传算法选取最佳采样阵元，以求构造出最佳测量矩阵。

1 压缩感知DOA模型

1.1 阵列信号模型

假设某均匀线阵(Uniform Linear Array, ULA)共有N个阵元,阵元间距为d，采样点总数为T,采样时刻t=1,2,…,T。则某采样时刻t，N个阵元的阵列输出信号是一个N×1维的向量

(1)

式中，sk(t)是从θk方向入射的窄带信号，K为入射的窄带信号个数；w(t)是一个N×1维的加性高斯白噪声矢量；a(θk)是N×1维的阵列导向矢量，且

a(θ)=[1,e-jα,…,e-jα(N-1)]T。

其中

代表同一入射信号到达不同阵元与参考阵元之间的波程差，λ是入射信号的波长。

根据式(1)和(2)，阵列的输出信号还可表示为

x=As(t)+w(t)。

(3)

式中，A是一个N×K维的阵列流型矩阵，s(t)代表K×1维的窄带入射信号。根据式(3)，在多个快拍条件下，均匀线阵的阵列输出信号可表示为

X=AS+W。

(4)

式中，X为N×T维的阵列输出信号，S为K×T维的窄带入射信号，W为N×T维的加性高斯白噪声矩阵。

1.2 阵列的稀疏采样模型

单快拍条件下[9],假设x是一个N×1维的信号矢量,且

x=Ψz。

其中:Ψ是一个N×M维的稀疏字典，即x是K稀疏的，且K≪M(K为来波个数)；z是一个M×1维的稀疏向量，其中有K个非零元素。压缩感知理论表明[9]，x能够从测量矢量y中恢复出来，即

y=Φx=ΦΨz=ACSz。

(5)

式中:y是一个m×1维的测量矢量；Φ是一个m×N维的测量矩阵，一般由随机矩阵构成(即高斯矩阵或伯努利矩阵)通过它可以随机地对阵元进行采样，构造测量矢量y；ACS是由Φ和Ψ相乘得到的感知矩阵；z是x在稀疏字典Ψ下的稀疏表示系数。利用正交匹配追踪算法(OMP)[10],可以对式(5)进行求解。

多快拍条件下，假设均匀线阵的阵列模型仍如式(4)所示，则压缩感知框架下的阵列输出信号可以表示为[9]

X=ΨZ+W。

(6)

式中:Ψ是一个N×Ns维的稀疏矩阵，Ns代表空域划分网格数；Z是一个Ns×T维的矩阵，其中每一列都是K稀疏的，即每一列中有K个非零元素，其包含着来波方向信息；W是加性高斯白噪声矩阵。

根据式(6)，假设测量矩阵Φ已知，那么多快拍条件下阵列的稀疏采样模型可以表示为

Y=ΦX=ΦΨZ+ΦW。

(7)

式中，Y代表测量矩阵对阵列进行压缩采样后的数据信息。

为了综合每个采样快拍下的DOA估计结果，对Y中每个快拍下的数据运用稀疏恢复算法求解出DOA信息[9]。综合每个快拍下的数据信息得出DOA估计结果

2 优化模型的构造

假设某阵列共有N个阵元，抽取M个阵元来构造压缩感知DOA测量矩阵。记Q为索引集合，即所选取阵元所有可能组合方式的集合,EQ为选取的采样阵元所对应的单位矩阵中的每一行构成的测量矩阵。从N阶单位阵I抽取其中不同的M行，构造M×N阶测量矩阵EQ，即

Φ=EQ。

(8)

根据式(5)可知

ACS=ΦΨ=EQΨ。

(9)

进而得Gram矩阵

(10)

在测量矩阵优化理论中，采用整体互相关系数来衡量测量矩阵和稀疏字典的不相干性。互相干系数C定义为Gram矩阵非主对角线元素的平方和。根据式(10)，可得

(11)

其中,gij是所构造的Gram矩阵GQ的元素。

整体互相关系数代表了测量矩阵和稀疏字典的相干性，相干系数越小，相同稀疏恢复算法的情况下，稀疏恢复精度越高。

综上所述，基于Gram矩阵的压缩感知DOA测量矩阵优化模型，可以表示为优化问题

(12)

3 测量矩阵的优化

遗传算法在解决组合优化问题时具有明显优势，它能仿照生物进化和遗传的特点，依据优胜劣汰的自然进化法则，最大限度地保持样本的多样性，并能在解空间的不同区域内进行多点搜索，通过反复迭代，在全局范围内搜寻优化问题的最优解，保证以最大概率得到全局最优解[11-12]。

考虑使用遗传算法来优化测量矩阵。设遗传算法的最大迭代次数为Lmax,种群个数为Npop，交叉概率为Pc，变异概率为Pm。现将遗传算法与组合优化模型(12)相结合，选取最佳采样阵元。

3.1 初始化种群

利用Matlab中的randperm函数产生1～N之间两两不等的M个整数，代表所选取的采样阵元，即得到索引集合Q中一种采样阵元组合方式。根据由此产生的随机数，构造一个长度为N的行向量V，其中所选采样对应的元素为1，其余元素为0。仿此随机产生Npop个行向量Vi(i=1,2,…,Npop),从而构造出一个Npop×N维的矩阵,即初始种群。

3.2 计算适应度

3.3 选择遗传个体

选择适应度值最小的遗传个体作为最优个体，将最优遗传个体保存起来。按照“轮盘赌”的方法选出下一步操作，即交叉和变异，所需要的遗传个体。其中，保存下来的最优遗传个体不进行后续的交叉和变异操作。

3.4 交叉

根据所选择的遗传个体，产生长度为M-1的一个交叉概率序列，将其逐一与交叉概率Pc作比较，小于Pc者对应的N1个遗传个体作为交叉种群。若N1为奇数，则从未被选择的遗传个体中随机选出一个遗传个体加入交叉种群。对交叉种群中两个相邻的遗传个体进行交叉操作。交叉操作时，预先产生一随机交叉位，即从1～N中随机抽取一个整数，交换相邻两个遗传个体从随机交叉位至最末位的元素。随机交叉位的选择，须保证参与交换的元素中具有相同数量的元素1，即采样阵元相当；否则，重新选择随机交叉位，直至满足该条件。

3.5 变异

根据所选择的遗传个体，产生长度为M-1的一个变异概率序列，将其逐一与变异概率Pm作比较，小于Pm者对应的N2个遗传个体作为变异种群。对变异种群中的遗传个体进行变异操作，即随机剔除各遗传个体对应采样阵元中的一个，并随机加入一个其余阵元。

3.6 循环

合并经交叉和变异操作后的遗传个体与所保存的最优遗传个体，构成新的种群，重新开始适应度计算等操作步骤。根据预先设定好的循环终止条件，即由遗传算法的最大迭代次数Lmax，判断是否终止循环。

循环终止后，可以得出最优的适应度值及其对应的最优遗传个体。采用Gram矩阵优化测量矩阵时，其最优遗传个体对应的采样阵元分布方式是均匀线阵。相比于均匀线阵，在非均匀线阵下利用OMP算法进行稀疏恢复，能获得更高的稀疏恢复精确度[13],故也可考虑采用次优解替代最优解构造测量矩阵。称这种替代方法为Gram矩阵构造测量矩阵的修正，即Gramfix测量矩阵。

4 仿真结果

假设均匀线阵共有36个阵元，阵元间距为入射信号的半波长，不重复地抽取10个阵元作为阵列的稀疏采样阵元，构造测量矩阵。设定遗传算法的最大迭代次数为1 500，种群大小为40，个体串长度为阵元个数36，交叉概率为0.8，变异概率为0.05。以等角度划分方式构造稀疏字典Ψ，其空域划分网格数为181。根据所构造的测量矩阵优化模型，结合遗传算法，优化测量矩阵。

仿真所得最优适应度值变化曲线如图1所示，遗传算法在迭代到530代时，其最优适应度值不再发生变化。所选取的最优采样阵元分布为

6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,

次优采样阵元分布为

6,8,13,16,17,20,24,26,31,33。

由此可见，所给方法是可行有效的。

图1 最优适应度随迭代次数的变化

为比较Gram矩阵，Gramfix矩阵和伯努利随机矩阵的优化性能，采用相同阵列结构,并引入来波角度分别为-10°, 25°，60°的3个远场窄带入射信号，进行仿真。稀疏字典的空域仍按等角度划分为181个网格，阵列的采样快拍数取为60。当信号角度的估计值与实际值相差不起过1°时，认为估计成功。在信噪比为5 dB的情况下，进行30次独立重复试验。3种测量矩阵对应的DOA估计正确概率以及均方误差，如表1所示。

表1 测量矩阵DOA估计结果

在不同信噪比情况下，各进行30次独立重复试验，信噪比的取值范围为-5～21 dB。3种测量矩阵对应的DOA估计正确概率和均方误差，如图2所示。由其可见，信噪比较低时，由次最优采样阵元构造的测量矩阵，其DOA估计正确概率高于两种测量矩阵，而均方误差则低于其它两种测量矩阵。

(a) 估计正确概率

(b) 估计均方误差

5 结语

通过对阵列阵元进行不重复采样，构造压缩感知DOA的测量矩阵,并以测量矩阵与稀疏字典的乘积作为压缩感知DOA的感知矩阵，再并以格拉姆矩阵为基础，可构造出压缩感知DOA的测量矩阵优化模型。

以格拉姆矩阵非主对角线元素的平方和，也即互相干系数，作为遗传算法的适应度值，将遗传算法与优化模型相结合，通过遗传算法求解最佳采样阵元，即得最佳测量矩阵设计。

仿真实验显示，所设计的测量矩阵较随机测量矩阵在DOA估计方面具有更好性能。不过，当天线阵元较多时，采用遗传算法来优化测量矩阵，还需尽可能地缩短优化时间，以及确保最优解的收敛性。

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[责任编辑:陈文学]

Design of compressive sensing DOA measurement matrix based on genetic algorithm

YANG Jie, LIU Penglu

(School of Communication and Information Engineering, Xi’an University of Posts and Telecommunications, Xi’an 710121, China)

Based on Gram matrix, a method of optimizing the measurement matrix of compressive sensing DOA is presented by using genetic algorithm. Against array elements to carry out non repeated sampling, and construct the measurement matrix. According to the sparse dictionary, the sensing matrix of compressive sensing DOA is obtained, and the Gram matrix is constructed therewith. Take the sum of squares of the non-diagonal elements in the constructed Gram matrix as the fitness value of the genetic algorithm, and use this algorithm to pick out the Optimum sampling array element. Experimental simulation results show that, even in case of less sampling array element and low signal noise ratio, the measurement matrix given by the presented algorithm is of good DOA estimation performance.

genetic algorithm, compressive sensing, direction of arrival (DOA), measurement matrix, Gram matrix

10.13682/j.issn.2095-6533.2016.06.018

2016-06-30

国家自然科学基金资助项目(61402365)；陕西省科技工业攻关资助项目(2013K06-33)

杨洁(1976-)，女，硕士，副教授，从事信号处理及应用研究。E-mail:yangjie@xupt.edu.cn 刘朋露(1990-),男,硕士研究生，研究方向为信号与信息处理。E-mail:459734560@qq.com

TN911.7

A

2095-6533(2016)06-0093-05