基于稀疏表示的非平稳信号时频分析

冯维婷, 梁 青, 谷 静

(西安邮电大学 电子工程学院, 陕西 西安 710121)



基于稀疏表示的非平稳信号时频分析

冯维婷, 梁 青, 谷 静

(西安邮电大学 电子工程学院, 陕西 西安 710121)

为实现多分量非平稳信号的高精度时频分析，给出一种基于稀疏表示的时频分析算法。对信号建立时变自回归模型，选择一组基函数对模型中的时变参数进行稀疏表示，将非平稳信号时频分析转化为一个稀疏表示问题，利用正交匹配追踪算法得到时变参数，从而获得非平稳信号的时频谱。选取一段时长为0.5 s的非线性调频信号进行仿真，与短时傅里叶变换和维格纳-维尔分布相比，时频谱和数据显示，所给方法具有更高时频聚集性和频率估计精度。

时频分析;非平稳信号；稀疏表示；时变自回归模型；正交匹配追踪

非平稳信号的时频特征是目标分类和识别的重要依据[1-2]。对非平稳信号的时频分析算法主要有非参数法和参数法两大类。非参数法主要有短时傅里叶变换(Short Time Fourier Transform, STFT)[3-4]、维格纳-维尔分布(Wigner-Ville Distribution, WVD)[5-6]和小波变换(Wavelet Transform, WT)[7]。STFT物理意义明确，但受测不准原理的制约，时间和频率分辨率不能同时兼顾。WVD可提高时间和频率分辨率，但分析多分量信号时存在交叉干扰项，其改进算法伪WVD(Pseudo WVD , PWVD)则以损失频率估计精度为代价，并不能完全消除交叉项。WT可克服STFT窗口大小不随频率变化的缺点，具有多分辨特性，但其窗口大小变化不具有自适应性。

在参数化时频分析方法中，时变自回归模型(Time-varing Auto Regressive, TVAR)描述非平稳信号的适应性较强[8-9]，其系数具有时变性，能随信号变化不断调整，用于非平稳信号时频分析时，能获得较高的时间和频率分辨率，但其时变系数需要进行精确估计。

根据稀疏表示理论，存在某变换域使得信号可由此变换域中的向量稀疏表示[10-11]。本文拟将稀疏表示理论引入TVAR模型时变系数的估计中，给出一种新的非平稳信号参数化时频分析方法：即选择一个变换域，对时变系数用一组基函数进行线性加权表示，将时变系数估计问题转换为线性时不变系数的求解问题，进而将非平稳信号时频分析问题转化为一个稀疏表示问题，并利用正交匹配追踪稀疏表示算法获得非平稳信号的时频谱。

1 信号的TVAR建模

信号s(n)的p阶TVAR模型可表示为

(1)

n=p,p+1,…,N-1。

其中：p为模型阶数，可由信息准则如赤池信息准则、贝叶斯信息准则，最小描述长度等确定所需最佳阶数[12]；ai(n)为时变系数；w(n)为平稳高斯白噪声过程。信号TVAR模型表示的关键在于确定各时变系数ai(n)。

在确定了模型系数ai(n)后，计算信号的时频功率谱

(2)

式中σ2为零均值复高斯白噪声w(n)的方差。

2 信号的稀疏表示模型

根据稀疏表示理论，存在一个变换域，使得TVAR模型的时变系数ai(n)可以用此变换域的有限个基函数的线性组合表示，即ai(n)在变换域具有稀疏性,其展开式可表示为

(3)

式中gj(n)(j=1,2,…,q)为选择的基函数，q为维数，aij是时不变常系数。

基函数选取的不同，很大程度上影响模型参数的逼近性能。目前常应用于TVAR模型的基函数有：勒让德基函数、沃尔什基函数、离散余弦基函数和傅里叶基函数。在雷达系统中常见微动目标通常为刚体目标，并做旋转、翻滚、振动等运动，其微动特征在时频谱中均服从正弦变化规律，适合选用离散余弦基函数和傅里叶基函数。

通过式 (3)，ai(n)的估计问题转化成了线性时不变系数aij的估计问题。把式(3)代入式(1)，得

其矩阵形式为

Y=ΨX+W。

(4)

其中W为噪声矩阵，Y为观测向量，X为待估计的线性时不变系数，且

X=[a11,a12,…,a1q,a21,a22,…,a2q,…,

ap1,ap2,…,apq]T，

Y=[s(p+1), s(p+2), …, s(N)]T,

而Ψ为(N-p)×(pq)维字典，它是由所选定的原子张成的基函数矩阵GN={gj(n)}与Y的Kronecker积，即

Ψ=GN⊗Y。

X具有稀疏性，只有k(k=pq)个非零值，因此，式(4)的求解问题可转化为稀疏表示问题

s.t. Y=ΨX+W。

(5)

式中，0范数‖X‖0等于矩阵X中非零元素的个数。式(5)的L0范数极小化求解问题已经证明是NP难问题，不能直接求解[13]。可以将求解最小L0范数用能够产生相同解但是更方便的L1范数来代替[14]，这就将式(5)的优化问题变成了一个凸优化问题

s.t. ‖Y-ΨX‖<ε。

(6)

其中ε表示允许的误差。根据X‖中非零值的位置得到对应的原子，经线性组合得到TVAR模型中的各时变系数ai(n)。

3 稀疏表示算法及步骤

采用正交匹配追踪(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)算法[15-16],求解式(6)的稀疏表示问题。通过迭代在字典中搜索与残差信号相关性最大的原子来匹配出k个原子，求得稀疏系数。算法结构简单且运算量小，其具体实现步骤如下。

步骤1 输入观测向量Y，字典Ψ，稀疏度k，容许误差ε>0。

步骤2 初始化残差矩阵R=Y，原子索引集I=∅。索引集是X中非零元素对应在字典中的位置集合。

步骤3 当条件n

更新残差

步骤5 跳转到步骤3，判断条件是否成立，若条件不成立则输出稀疏解

4 仿真实验

实验1 产生一段非线性调频信号

s(n)=Aej(a1n+a2n2+a3n3)。

采样频率fs=2 kHz,采样点数N=1 024，信号幅值A=1，一次相位系数a1=-628.3，二次相位系数a2=1 005.3，三次相位系数a3=2 225。TVAR模型中阶数取为2，选取离散余弦基函数，其维数取为20。信号的时频谱如图1所示。

图1 实验1中各算法所得时频谱对比

图1(a)采用STFT方法，时间窗采用长度为65点的汉明窗，短时谱的时间分辨率较高，但谱线较粗，频率分辨率较差，信号的时频分辨率不可兼得。图1(b)采用PWVD方法，时频谱线较细，时频分辨性能高于STFT方法的。图1(c)采用基于TVAR模型的OMP稀疏表示方法，时频谱线粗细程度与PWVD方法相当，分辨率与其相当。采用PWVD方法所得瞬时频率估计值偏差较大，如表1所示。

由表1可见，选取不同时间点，用3种方法进行频率估计，与频率真值对比结果表明，基于TVAR模型的OMP稀疏表示方法，即新方法所得频率估计值更接近真值，而PWVD方法虽频率分辨性能较高，但频率估计偏差最大。

表1 频率估计值对比表

实验2 在第一段非线性调频信号的基础上，附加产生第二段信号

s(n)=Bej(b1n+b2n2+b3n3)。

其中，幅值B=1，一次相位系数b1=-1 884.9，二次相位系数b2=471.2，三次相位系数b3=250。两段非平稳信号的时频谱如图2所示。

图2 两段非平稳信号的时频谱

由图2对比可见，在对多分量非平稳信号时频分析中，PWVD方法出现交叉干扰项，影响了性能；基于TVAR模型的OMP稀疏表示方法，其时频能量聚集性高，分辨率高于前两种方法，且无交叉干扰项影响。因此，所给方法更适合于多分量非平稳信号的时频分析。

5 结语

给出一种针对非平稳信号的基于TVAR参数化模型的稀疏表示时频分析方法，建立信号的TVAR参数化模型，将基于OMP的稀疏表示方法引入到信号的时频分析中。仿真结果验证了该方法的时频分析时性能，如时频能量聚集性、频率估计精度，均优于STFT和PWVD时频分析方法。

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[责任编辑:陈文学]

Time-frequency analysis of non-stationary signal based on sparse representation algorithm

FENG Weiting, LIANG Qing, GU Jing

(School of Electronic Engineering, Xi’an University of Posts and Telecommunications, Xi’an 710121, China)

In order to achieve high accuracy of time-frequency analysis for non-stationary multi-component signals, a time-frequency analysis algorithm based on the sparse representation is proposed. A time-varying auto regressive model is established for signal, and the time varying parameter is sparsely represented by a group of basis function, thus, the time-frequency analysis of non-stationary signal is translated into a sparse representation issue. The time varying parameter is got by the orthogonal matching pursuit algorithm, and then time-frequency spectrum of non-stationary signal is achieved. The nonlinear frequency modulation signal with a period of 0.5 s is simulated, and the results show that, the proposed method is of higher accuracy than the STFT and WVD methods.

time-frequency analysis, non-stationary signal, sparse representation, time-varying auto regressive model, orthogonal matching pursuit

10.13682/j.issn.2095-6533.2016.06.017

2016-05-10

国家自然科学基金资助项目( 61202490)；陕西省自然科学基金资助项目(2014JM2-6117)；陕西省教育厅科学研究计划资助项目(15JK1654)；西安邮电大学校青年教师科研基金资助项目(101-0486)

冯维婷(1980-)，女，硕士，讲师，从事雷达与通信信号处理研究。E-mail:fengweiting11@163.com 梁青(1966-), 女，教授，从事无线传感器网络研究。E-mail: liangqing@xupt.edu.cn

TN911.7

A

2095-6533(2016)06-0088-05