一类具有非线性阻尼的波动方程解的存在性

晋守博，费时龙，赵美玲

（宿州学院 数学与统计学院，安徽 宿州 234000）

一类具有非线性阻尼的波动方程解的存在性

晋守博，费时龙，赵美玲

（宿州学院 数学与统计学院，安徽 宿州 234000）

文章研究一类具有非线性阻尼和异号源项的波动方程的初边值问题，给出波动方程弱解的定义，利用Galerkin方法构造了方程的近似解，并利用Minkowski不等式和Hölder不等式对近似解进行估计，讨论在不同范数下的收敛性，通过一个重要的引理，解决非线性阻尼项的收敛性问题，得到波动方程的一个弱解.

波动方程；弱解；存在性；非线性阻尼

0 引言

本文将考虑如下一类具有非线性阻尼项的波动方程的初边值问题

其中常数α,a,b＞0,2＜k＜m，有界区域Ω⊂Rn具有光滑边界，m,p,q满足：

具有阻尼的波动方程是从包含黏性效应物体的运动中提出的，近年来，越来越多的学者开始研究这类方程，当波动方程的阻尼项具有非线性形式时，方程的结构变得较为复杂，Georgiev和Todorova在文献［1］中给出了如下一类具有非线性阻尼和单个源项的波动方程utt-Δu+a|ut|m-1ut=b|u|p-1u,x∈Ω,t＞0，证明了方程整体解的存在性，并分析了解在有限时间内爆破的条件.文献［2］讨论了方程utt-Δu-Δut-Δutt+Δ2u+a|ut|m-2ut=b|u|p-2u,x∈Ω,t＞0整体解的存在性和解的渐近性，文献［3］证明了含有k拉普拉斯算子项的波动方程整体解的存在性问题，但是没有考虑含有多个源项的波动方程的初边值问题.如果物理系统中同时存在多个源项，波动方程的结构将会变得更加复杂，文献［4］证明了含有2个异号源项的波动方程utt-Δu=a|u|p-1u-b|u|q-1u,x∈Ω,t＞0，整体解的存在性，文献［5］分析了方程解的爆破现象，文献［6］将上述结论推广至含有3个源项的波动方程，另外文献［7-8］对含有多个源项的波动方程做了系统研究，但是都没有考虑阻尼项对方程的影响，尤其是非线性阻尼项的影响.本文将考虑同时含有非线性阻尼项和异号源项的波动方程整体解的存在性问题.

1 预备知识

2 弱解的存在性

［1］GEORGIEV V，TODOROVA G.Existence of a solution of the wave equation with nonlinear damping and source terms［J］. J Differ Equation，1994，109：295-308.

［2］DI Huafei，SHANG Yadong.Global existence and asymptotic behavior of solution for the double dispersive-dissipative wave equation with nonlinear damping and source terms［J］.Boundary Value Problems，2015，29：1-15.

［3］狄华婓，尚亚东.一类带有非线性阻尼项和源项的四阶波动方程整体解的存在性与不存在性［J］.数学物理学报，2015，35（3）：618-633.

［4］徐润章，沈继红，刘亚成.位势井及其对具异号源项波动方程的应用［J］.工程数学学报，2007，24（5）：931-934.

［5］XU Runzhang，YU Tao.Remarks on wave equations involving two opposite nonlinear source terms［J］.J Appl Math Com⁃put，2009，29：15-18.

［6］李宝平，帅鲲，蒲志林.位势井在3个非线性源项波动方程中的应用［J］.四川师范大学学报（自然科学版），2014，37（2）：152-156.

［7］刘亚成，徐润章，于涛.具有多个非线性源项的波动方程［J］.应用数学和力学，2007，28（9）：1079-1086.

［8］XU Runzhang.Cauchy problem of generalized boussinesq equation with combined power-type nonlinearities［J］.Mathemat⁃ical Metheod in Applied Science，2011，34：2318-2328.

［9］LIONS J L.Quelques méthodes de résolution des problémes aux limites non linéaires［M］.Paris：Dounod Gauthier-Villars，1969.

The Existence of Solutions for a Class of Wave Equation with Nonlinear Damping

JIN Shoubo，FEI Shilong，ZHAO Meiling
（School of Mathematics and Statistics，Suzhou University，234000，Suzhou，Anhui，China）

The initial boundary value problem of wave equations with nonlinear damping and source terms of different signs is considered.The definition of weak solution for the wave equations is firstly described.And then，the approximate solutions of the equations are constructed by the Galerkin method.The approximate so⁃lutions are estimated by the Minkowski inequality and the Holder inequality，and the convergence is dis⁃cussed in different norms.Finally，the convergence problem of nonlinear damping is solved by an important lemma，and a weak solution is obtained.

wave equation；weak solution；existence；nonlinear damping

O 175.2

A

2095-0691（2016）04-0008-04

2016-03-29

国家大学生创新项目（201410379021）；安徽省高校自然科学研究项目（KJ2016A770）；高校优秀青年人才支持计划重点项目（gxyqZD2016340）；宿州学院优秀青年人才支持计划重点项目（2016XQNRL003）

晋守博（1980- ），男，河南洛阳人，硕士，讲师，研究方向为偏微分方程.