双悬扭摆测量转动惯量及平行轴定理的实验研究

陈洪云 郑安寿

[中国地质大学(武汉)数理学院 湖北 武汉 430074]



双悬扭摆测量转动惯量及平行轴定理的实验研究

陈洪云 郑安寿

[中国地质大学(武汉)数理学院 湖北 武汉 430074]

转动惯量是描述刚体转动惯性量度的重要物理量，它具有重要的物理意义.本文利用一种双悬扭摆的实验装置来对物体的转动惯量进行实验研究以及对平行轴定理进行实验验证.

转动惯量 平行轴定理 双悬扭摆

转动惯量是描述刚体转动惯性量度的重要物理量，它具有重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量.它不仅与刚体的质量分布、几何形状有关，而且与转轴的位置有关.对于形状简单的均匀刚体，测出其外形尺寸和质量，就可以计算出转动惯量.对于形状复杂的、质量分布不均匀的刚体，一般利用转动实验来测定其转动惯量.

1 双悬扭摆装置介绍

如图1所示，双悬式扭摆的测量载物篮由上、下两根悬线悬挂.下悬线的底端与一压簧相连，通过旋转螺母，在弹簧的作用下，可以改变上、下两根悬线中的张力，这就有效地解决了刚体绕中心轴旋转时晃动的问题.

图1 双悬扭摆示意图

三角架的水平调节螺丝是为了保证刚体的旋转轴和悬线在铅直方向.载物篮中放置不同的待测物体，可研究刚体的转动惯量与其质量大小、质量分布和转轴位置变化的规律，并可验证平行轴定理.传感器的作用是将刚体旋转过程中的挡光信号转换成电脉冲信号，以达到自动测量旋转周期的目的.

实验中除了双悬扭摆装置，还配有标准件(圆环)1个以及待测件(圆盘1个，相同圆柱体2个).

图2 标准件及待测件图示

2 工作原理

当载物篮偏离平衡位置一个角度θ时，载物篮将受到上、下两悬线扭力矩M的作用，显然有

M=-Dθ

(1)

其中D为扭转系数，它起源于悬线的切变应力.

根据转动定律

(2)

其中J是刚体绕中心轴的转动惯量.式(2)表明载物篮的运动满足谐振动方程，运动周期

(3)

设空载载物篮相对悬丝轴的转动惯量为J0，转动周期为T0；标准件(圆环)相对悬丝轴的转动惯量为J1，标准件与载物篮一起转动的周期为T1；待测件相对悬丝轴的转动惯量为Jx，待测件与载物篮一起转动时的周期为Tx，则

(4)

(5)

(6)

可得

(7)

由此可知，只要测出T0，T1，Tx，便可根据J1的值计算出Jx.

T0，T1，Tx的测量是由单片机完成的，其精度为10-4s，为进一步消除测量中的误差，一般采用测量多个周期的时间，然后算出一个周期的值.

3 数据测量及结果分析

在测量之前首先把标准件以及待测件的转动惯量理论值算出来，这方便与我们实验测量的结果进行对比.用游标卡尺多次测量标准件及待测件，计算出它们的转动惯量的理论值，结果如表1和表2.

表1 标准件(圆环)转动惯量理论值的计算

表2 待测件(圆盘)转动惯量理论值的计算

计算标准件及待测件理论值之后，按照实验装置操作要求，可测量待测件(圆盘)的转动惯量.为了减少实验的误差，测量过程中，我们重复测量10次，最后求出平均值，然后再与理论值进行百分差计算，结果如表3.

表3 待测件(圆盘)转动惯量的测量值

从表3可以看出，理论值与测量值的百分差非常小，表明实验操作及测量结果合理.

4 验证平行轴定理

利用实验装置，我们还可以验证平行轴定理.若有任一轴与过质心的轴平行，且该轴与过质心的轴相距为d，如图3所示，刚体对其转动惯量为JO，则有

JO=JC+md2

其中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量，这个定理称为平行轴定理.

图3 平行轴定理刚体示意图

为了验证平行轴定理，我们对实验做了些改进，因为载物篮需要在一个平衡的状态下转动，实验中我们利用两个基本相同的圆柱体，同时对称地放置在载物篮中心的两边，保证载物篮在一个水平面内转动.我们首先用游标卡尺多次测量圆柱的直径，理论计算其绕自身中心的转动惯量，如表4.然后把两个圆柱对称地放置在距离载物篮中心分别为2，3，4，5，6 cm的地方，利用实验装置把各自对应的转动惯量测量出来，如表5所示.

表4 待测件(圆柱)直径转动惯量的理论计算

表5 两圆柱对称放置离载物篮中心不同距离处转动惯量的测量与计算值

d/cm65432测量值Jd/(g·cm2)1436210248682741512264理论值Jx/(g·cm2)1448510244681141402233百分差η1/%0.80.040.20.271.4

由于两圆柱质量相差很小，故可认为圆柱在离中心相等的地方对应转动惯量相等，所以有表6.

表6 单个圆柱放置离载物篮中心不同距离处的转动惯量测量值

d2/cm236251694单个圆柱在不同位置的转动惯量Jd/(g·cm2)71815124341420761132

根据表6，应用Origin软件作图并线性拟合可得图4.

从图4可以看出，Jd与d2为线性关系，表明了此实验很好地验证了平行轴定理.为了很好地说明此实验验证了平行轴定理，我们由Origin软件拟合Jd和d2之间关系(Y=A+BX)，可得到表7.

图4 Jd与d2关系图

表7 线性拟合各参数值

根据拟合过程和方程Jd=JC+md2可得JC=A=379 g·cm2，与单个圆柱转动惯量计算理论值377 g·cm2相比较，两者相差无几；同时，质量拟合值(m=B=189.24 g)与质量实际值也非常接近(m1=190.71 g,m2=190.73 g)，说明此实验很好地验证了平行轴定理！

最后需要说明的是，本实验在操作过程中，需要注意下列事项：

(1)在将标准件的转动惯量输入单片机时，以g·cm2为单位，单片机自动转变为kg·cm2.

(2)在按下单片机计算的时候，计算数值的单位为kg·cm2.

(3)验证平行轴定理的时候，我们需2个质量、外形相差无几的小圆柱，把它们对称地放置在载物篮的两边，这跟只利用一个小圆柱分别放置在载物篮一边相比，测量结果误差较少，主要原因是载物篮上只放置一个圆柱在其边上时，其转动面有一定倾斜.

5 结束语

从上面测量结果及其分析来看，不管在测量圆盘的转动惯量，还是在利用圆柱验证平行轴定理的时候，我们的测量结果都比较合理.同时，最后在验证平行轴定理时，借助了计算软件进行作图并进行相关分析，这反映了大学物理实验教学在培养学生能力方面的重要作用，需要加以重视.

2015-10-26)