有效值都是最大值除以槡2吗——— 关于正弦式交流“两值”关系成立条件的讨论

刘保华

(江西上饶中学 江西上饶 334000)



物理问题讨论

有效值都是最大值除以槡2吗
——— 关于正弦式交流“两值”关系成立条件的讨论

刘保华

(江西上饶中学 江西上饶 334000)

正余弦式交流电 有效值 推导 追根溯源

1 问题

【例题】如图1所示，面积为S的矩形线圈共N匝，线圈总电阻为R，在磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场中以竖直线OO′为轴，以角速度ω匀速旋转，图示位置C与纸面共面，位置A与位置C成45°角．线圈从位置A转过90°到达位置B的过程中，下列说法正确的是

图1

D.在此转动过程中，电流方向会发生改变

图2

笔者认为此法不对.

为了弄清这个问题，我们有必要推导一下正弦式交流电有效值与最大值的关系.

2 有效值与最大值的关系

正弦式交流电有效值与最大值之间关系的推导许多版本的教材[1]、期刊[2]都有方法介绍，但这些推导多考虑高中数学知识局限，采用初等数学或技巧性更强的方法，没有去追根溯源探究，笔者认为不能从本质上解决问题.由于新课改后，高中数学已经引入了初等微积分，为此用积分方法，不失为一种根本解决问题之道.

2.1 有效值的推导

正弦式交流电的瞬时值为

i(t)=Imsinωt

u(t)=Umsinωt

该交流电的瞬时功率也随时间变化

P(t)=ui=Umsinωt·Imsinωt=

(1)

通常功率在一个比较长的时间内才有意义，对一个随时间变化的函数来说，它在某段时间里的平均值应该等于该函数对时间积分后，除以时间间隔.因此该交流电一个周期T内平均功率

如果让该交流电通过电阻R，在一个周期T内产生的焦耳热Q可以表示为

(2)

(3)

即

(4)

根据交流电定义，此时如果让一直流电通过同一个电阻R，在一个周期T内产生的焦耳热也同为Q，则

(5)

对比式(4)、(5)两式，可得该交流电的有效值

所以时间段Δt=t2-t1内，必须

(6)

2.3 问题中C选项的正解

(7)

(8)

对比式(7)、(8)，可得这段时间内该交变电流的有效值

3 结束语

1 张大同.(创新班和理科班) 物理 高中(下册).上海:上海教育出版社,2013. 194～195

2 许文.探究正弦交流电有效值与最大值的关系.物理通报，2011(5)：29～30

3 人民教育出版社,课程教材研究所,物理课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书 物理·选修3-2 教师用书. 北京：人民教育出版社，2011.100～103

刘保华(1980- )，男，中教一级，主要从事高中物理教学工作．

2015-09-09)