实Clifford代数Cl3,0的实矩阵表示

宋元凤，李武明

(通化师范学院 数学学院，吉林 通化 134002)



实Clifford代数Cl3,0的实矩阵表示

宋元凤，李武明

(通化师范学院 数学学院，吉林 通化 134002)

从实Clifford代数CL3,0基元对应的矩阵给出了实Clifford代数CL3,0的忠实的实矩阵表示. 然后，通过张量积给出了实Clifford代数CL3,0的另一个忠实的实矩阵表示.

矩阵表示；基元；张量积

Clifford代数是由英国数学家W. K.Clifford(1845-1879)引入的一类结合代数[1],其目的是为了把四元数[2]推广到任意有限维的情形. 由于这类代数可以刻画平面及高维的几何对象, 也可以刻画旋转, 反射和其他几何变换, 所以Clifford称这类代数为几何代数. 这种几何代数也被其他人重新发现并推广, 基于Clifford所做的贡献, 现在称这类代数以及被推广了的这类代数为Clifford代数.

由于Clifford代数具有通用性的特点以及它有直观的几何解释, 使得其在物理、黑洞、宇宙论、量子轨道、量子场理论、机器人、计算机视觉等领域有广泛应用[3-6].

1 CL3,0的实矩阵表示

并由此确定Clp,q的一个基:

1

e1,e2,…,ep+q

e1e2,e1e3,…,e1ep+q,e2e3,…,e2ep+q,…,ep+q-1ep+q

……

e1e2…ep+q

定义1 设Mat(n,f) 表示F上的n阶矩阵代数. 则一个代数同态 φ:A→Mat(n,F)就是A的一个F-矩阵表示，称Im(φ)是A的一个F-矩阵表示.

特别的，如果φ是单的，那么称这个矩阵表示是忠实的.

下面利用文献[8]的方法构造实Clifford代数Cl3,0的实矩阵表示. 设1,e1,e2,e3,e12,e13,e23,e123是Cl3,0的一个基，令

则有

表1 乘数表

其中，Eij=EiEj.

命题1 实Clifford代数

{0,1,2,3,12,13,23,123},xα∈}=

其中，E0=I．Eij=EiEj,Eijk=EiEjEk.

还可以从另外的角度研究实Clifford代数Cl3,0的实矩阵表示.

Cl3,0≃⊗Mat(2,)≃

由于Cl3,0≃⊗Mat(2,)，而二维实代数与2阶全矩阵代数Mat(2,)都是单代数，所以实Clifford代数Cl3,0的实矩阵表示都是忠实的.

2 结束语

实Clifford代数的矩阵表示不仅是数学学科的基本工具, 而且在理论物理、机器人、计算机视觉、信息处理、工程技术等领域有广泛应用. 在这篇文章中给出了实Clifford代数CL3,0的实矩阵表示，丰富了这个领域的成果.

[1]W K Clifford. Applications of Grassmann's extensive algebra[J]. Amer. J. Math., 1878(1): 350-358.

[2]W R Hamilton. Elements of quaternions[M]. London: Longmans Green, 1866.

[3]W E Baylis. Clifford (Geometric) algebra with applications to physics, mathematics, and engineering[M]. Boston: Birkhauser, 1996.

[4]E B Corrochano, G Sobczyk. Geometric algebra with applications in science and engeneering[M]. Boston: Birkhauser, 2001.

[5]C Doran, A Lasenby. Geometric algebra for physicists[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 2003.

[6]C Perwass. Geometric algebra with applicating in engineering[M]. Heidelberg: Springer Verlag, 2009.

[7]P Lounesto. Clifford Algebras and Spinors[M]. New York: Cambridge University Press,1997.

[8]张桂颖，李武明.Clifford代数Clp,q(p+q=3)的可逆元[J].长春理工大学学报,2012,35(4):154-156.

(责任编辑:陈衍峰)

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2016.08.011

2016-03-20

通化师范学院自然科学科研项目“实Clifford代数的实矩阵表示及其子群结构”(201433)

宋元凤,女,吉林辉南人,博士,讲师.

O153

A

1008-7974(2016)04-0035-02