一类抽象分数阶微分包含解的存在性

刘小佑，刘桃花

(1.南华大学 数理学院，湖南 衡阳，421001)(2.中南大学 数学与统计学院,湖南 长沙，410083)



一类抽象分数阶微分包含解的存在性

刘小佑1，刘桃花2

(1.南华大学 数理学院，湖南 衡阳，421001)(2.中南大学 数学与统计学院,湖南 长沙，410083)

本文在Hilbert空间中讨论了一类新的抽象分数阶微分包含。我们给出了该类问题mild解的定义，利用分数阶微积分，Clarke次微分和集值函数的不动点等相关理论，证明了该问题解的存在性。另外还证明了其解集是一个紧集。

分数阶微分包含；存在性；解集；Clarke次微分

分数阶微分方程在物理、力学、工程中具有广泛的应用[1,2]。在最近十多年来，有大量作者研究了无穷维空间中的分数阶微分方程，如文献[3-5]考虑了分数阶边值问题解的存在性；文献[6-10]就抽象分数阶微分方程mild解的存在性进行了研究；而在文献[11-13]中，讨论了分数阶发展微分方程或包含的控制理论。

最近，在文献[8]和[11]中，研究了如下一类分数阶半线性微分包含：

(1)

在本文中，设H是一个可分的Hilbert空间，I=[0,b](b>0)。

(2)

由Clarke次微分的性质[17]，我们知道∂J(t,x(t))是取凸值的。但是它并不满足文献[8,11]中的对多值项F的假设要求，所以其结果并不能适用于问题(2)。

在本文中，我们将给出问题(2)mild解的定义，并利用分数阶微积分,Clarke次微分和集值函数的不动点等相关理论证明该问题解的存在性以及其解集是空间C(I,H)中的一个紧子集。

1 预备知识与假设

在本文中，用‖·‖X表示Banach空间X中的范数，用X*表示空间X的对偶空间，用C(I,H)表示从I到H的所有连续函数组成的空间,赋予范数‖X‖C=supt∈I‖x(t)‖H。有关分数阶积分、Riemann-Liouville型分数阶导数、Caputo型分数阶导数的定义，请参看文献[1]。注意如果分数阶微积分中被积函数f是一个取值于空间X中的抽象函数，那么其积分是Bochner意义下的积分。

设E是一个Banach空间，函数h:E→R是局部Lipschitz连续的。函数h在点x处沿方向v的广义方向导数[17],记作h0(x,v)，定义为

函数h在点x处的广义梯度(广义次微分)，记为∂h(x)，它是E*的一个子集，定义为∂h(x)={ξ∈E*:∀v∈E,h0(x,v)≥〈ξ,v〉}。

引理1.1(参看[17]) 设局部Lipschitz连续函数h在点x附近有Lipschitz常微K。则有：(a)∂h(x)是非空凸的、并且是空间E*中的弱星紧子集(weak*-compact)以及对任一ξ∈∂h(x)有‖ξ‖E*≤K；(b) 对任一v∈E，有h0(x,v)=maxξ∈∂h(x)〈ξ,v〉。

设X是一个Banach空间。称集值函数F:X→2X是凸(闭)的，如果对任一x∈X，有F(x)是取凸(闭)值的。称F是上半连续的，若对任一点x0∈X，F(x0)取非空闭集，且对空间X中的任意一个包含F(x0)的开集C，存在点x0的开领域N0满足F(N0)⊆C。称F是全连续的(completelycontinuous)，若对空间X中的任一有界集B，有F(B)是相对紧集的。

若F是取非空值的全连续集值函数，那么F是上半连续的当且仅当F具有闭图像，即若有xn→x*，yn→y*和yn∈F(xn)，那么y*∈F(x*)。称F具有不动点是指若存在x∈X满足x∈F(x)。

在本文中，我们作如下假设。

H(A)：算子A是强连续算子半群T(t)，t≥0的无穷小生成元，存在常数MA≥1满足supt∈[0,+)‖T(t)‖≤MA。对t>0，算子T(t)是紧的。

H(J)：函数J:I×H→R满足：(1)对所有x∈H，函数t→J(t,x)可测；(2)对a.e.t∈I，函数x→J(t,x)是局部Lipschitz连续的；(3)对a.e.t∈I，任给x∈H和任给 η∈∂J(t,x)，有‖η‖H≤a(t)+c‖x‖H，其中a∈L1/β(I,R+)，c>0和β∈(0,α)。

利用文献[6,11]中所得到的结果，我们给出问题(2)mild解的定义。

定义1.1(参看文献[6,7]) 函数x∈C(I,H)称为是问题(2)的mild解，如果x(0)=x0且存在η∈L1(I,H)，其中对a.e.t∈I，有η(t)∈∂J(t,x(t))满足

(3)

sin(nπα)，θ∈(0,)，

其中ξα(θ)是定义在(0,)上的概率密度函数，即有

另外，可以证明

(4)

引理1.3(见[6,7]) 设H(A)满足，那么算子Pα和Qα具有以下性质：

(1)对任意t≥0，Pα和Qα是线性有界算子，且有对任意x∈H有，

‖Pα(t)x‖H≤MA‖x‖H，

(2){Pα(t),t≥0}和{Qα(t),t≥0}是强连续的；

(3)对任意t>0，Pα(t)和Qα(t)是紧算子。

2 主要结果

用Su(x0)表示问题(2)的解集。在本节中，在假设条件H(A)和H(J)满足的前提下，将证明问题(2)至少有一个mild解，即解集Su(x0)非空，以及Su(x0)是空间C(I,H)中的一个紧子集。首先，给出问题(2)的解的一个先验估计。

引理2.1.设x∈C(I,H)是问题(2)的任意一个mild解，那么存在常微L满足‖x‖C≤L。

证明：设x∈C(I,H)是问题(2)的任意一个mild解。由定义1.1知，存在η(t)∈∂J(t,x(t))，a.e.t∈I且满足

由引理1.3，H(J)(3)以及Hǒlder不等式，我们有

‖x(t)‖H≤MA‖x0‖H+

(5)

由上述不等式以及奇异型(singular-version)Gronwall不等式可知，存在常数L，满足‖x‖C≤L。证毕。

由引理2.1，不妨假设对a.e.t∈I，任给x∈H以及任给η∈∂J(t,x)有

‖η‖H≤κ(t)=a(t)+cL，

其中κ∈L1/β(I,R+)。

(6)

此时，由上式以及不等式(5)可知，对问题(2)的任何可能mild解x有

(7)

现在，我们按下式定义算子

N:L1/(1-β)(I,H)→2L1/β(I,H)，

N(v)={w∈L1/β(I,H):w(t)∈∂J(t,v(t)),a.e.t∈I}，v∈L1/(1-β)(I,H)。

引理2.2(见文献[16]中引理11) 若H(J)满足，那么算子N具有性质：若在空间L1/(1-β)(I,H)中，vn→v，在空间L1/β(I,H)中，wnw，以及有wn∈N(vn)，那么有w∈N(v)。(这里“” 表示弱收敛)。

设κ由式(6)定义，引入集合

Xκ={f∈L1/β(I,H):‖f(t)‖H≤κ(t)a.e.t∈I}

(8)

以及由下式定义的算子

S:L1/β(I,H)→C(I,H)，

引理2.3.算子S:Xκ→C(I,H)是从空间w-Xκ到空间C(I,H)中的连续算子。(这里 w-Xκ表示Xκ是取的弱拓扑)。

该引理的证明类似于文献[10]中的引理3.2的证明(或参看文献[12]中引理3.2的证明)。下面我们给出本文的主要结果。

定理2.1.问题(2)至少有一个mild解，即解集Su(x0)非空。

证明：引入集值函数R:C(I,H)→2C(I,H)，其定义为对任给x∈C(I,H)有，

注意到C(I,H)⊆L1/(1-β)(I,H)，因此上述定义是合理的。另外显然集值函数R的所有不动点都是问题(2)的mild解。接下来，将证明集值函数R满足引理1.2所有的假设条件。

证明分成四个步骤进行。

步骤1.对每一个x∈C(I,H)，R(x)是取凸值的。

设y1，y2∈R(x)，那么存在η1，η2∈N(x)满足

由引理1.1可知，∂J(t,x(t))是取凸值的。因此对λ∈[0,1]，有λη1+(1-λ)η2∈N(x)。由于

s)α-1Qα(t-s)(λη1(s)+(1-λ)η2(s))ds，可知λy1+(1-λ)y2∈R(x)。另外由集值函数及次微分的性质可知R(x)≠φ。

步骤2.存在非空、有界、闭凸集D⊆C(I,H)满足R(D)⊆D。

步骤3.R(D)⊆C(I,H)是等度连续的并且对任意t∈I。W(t)={y(t):y∈R(D)}是空间H中的相对紧集。

因为对任给x∈D和任给η∈N(x)，由式(6)可以推出‖η‖L1/β(I,H)具有界‖κ‖L1/β(I)。由文献[10]中引理3.2的证明过程可知，步骤3成立。

步骤4.R具有闭图像。

设在空间C(I,H)中，xn→x*，yn→y*并且有yn∈R(xn)，n≥1。

需要证明 y*∈R(x*)。由于yn∈R(xn)，可知存在ηn∈N(xn)满足

(9)

ηnη*，η*∈L1/β(I,H)。

(10)

此时由式(9)，式(10)和引理2.3可知有

(11)

注意到在空间C(I,H)中，xn→x*以及ηn∈N(xn)。由引理2.2和式(10)，可以推出η*∈N(x*)。至此证明了y*∈R(x*)。

由以上步骤1到步骤4以及Arzelà-Ascoli定理，可知集值函数R是完全连续的，并且它是上半连续的、取凸闭值的。至此证明了R满足引理1.2的所有假设条件，因此R具有不动点。该不动点就是问题(2)的mild解。证毕。

定理2.2.问题(2)的解集Su(x0)是空间C(I,H)中的一个紧子集。

由式(6)知，可取序列ηn(n≥1)的子序列ηnk(k≥1)，使其满足下式

ηnk。

(12)

记

那么由引理2.3，我们有

(13)

3 结论

在本文中，我们利用分数阶微积分、集值函数的不动点以及Clark次微分等相关理论讨论了一类定义在Hilbert空间上的抽象分数阶微分包含解的存在性及其解集的一个拓扑性质。本文中，所要求的假设条件都是非常普通的，有关问题(2)的控制理论研究将是我们以后要做的工作。

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Existence results for a new class of abstract fractional differential inclusions

LIU Xiaoyou1,LIU Taohua2

(1.School of Mathematics and Physics,University of South China,Hengyang 421001,China；2.School of Mathematics and Statistics,Central South University,Changsha 410083,China)

In this paper,we consider a new class of abstract fractional differential inclusions in a Hilbert space.We first introduce the concept of mild solutions for this problem.Then the existence results are obtained by using techniques from fractional calculus,fixed points of multivalued maps and the theory of Clarke subdifferential.Finally,we prove that the solution set of the problem is a compact set.

fractional differential inclusions;existence;solution set;Clarke subdifferential

1672-7010(2016)03-0010-06

2016-04-08

国家自然科学基金青年项目(11501284);湖南省自然科学基金青年项目(2015JJ6095)

刘小佑(1983-)，男，湖南耒阳人，副教授，博士,从事抽象算子方程、微分包含与控制理论研究通信作者：刘桃花(1987-)，女，湖南邵阳人，在读博士生，从事数据挖掘、智能计算研究;E-mail:27132033@qq.coom

O175.1

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