非线性矩阵方程Xm-A*X-sA-B*X-tB=Q的Hermitian正定解

马昌凤，柯艺芬

(福建师范大学 数学与计算机科学学院,福建省分析数学及其应用重点实验室，福建 福州，350117)



非线性矩阵方程Xm-A*X-sA-B*X-tB=Q的Hermitian正定解

马昌凤，柯艺芬

(福建师范大学 数学与计算机科学学院,福建省分析数学及其应用重点实验室，福建 福州，350117)

研究了非线性矩阵方程Xm-A*X-sA-B*X-tB=Q的Hermitian正定解,其中Q为Hermitian正定矩阵,m∈[1,+)且s,t∈(0,1]。给出了该矩阵方程Hermitian正定解存在的充分必要条件,同时也分析了求解其Hermitian正定解的迭代算法的收敛性。实验结果表明了该迭代算法的有效性。

矩阵方程；Hermitian正定解；迭代方法；收敛条件

考虑如下的非线性矩阵方程

Xm-A*X-sA-B*X-tB=Q,

(1)

其中A,B为非奇异方阵,Q为Hermitian正定阵,m∈[1,+),s,t∈(0,1],X为未知矩阵,且所有的矩阵都是定义在复数域上。

非线性矩阵方程(1)的一些特殊情形的Hermitian正定解已经被研究过,可参考文献[1-13,15-18]。比如,Al-Dubiban和El-Sayed[12]讨论了矩阵方程

X-A*X-sA-B*X-tB=I

的Hermitian正定解。

本文剩下部分组织如下：第1节,讨论了矩阵方程(1)Hermitian正定解的性质；第2节,给出了一个求解矩阵方程(1)Hermitian正定解的不动点迭代算法并分析了其收敛性；第3节,给出了一些数值例子。

1 Hermitian正定解的性质

本小节将讨论矩阵方程(1) Hermitian正定解的一些性质并给出了Hermitian正定解存在的条件。

引理1[14]若P≥Q>0(或者P>Q>0),则有

(ⅰ)对任意α∈(0,1],都有Pα≥Qα>0(或者Pα>Qα>0);

(ⅱ)对任意α∈[-1,0),都有Qα≥Pα>0(或者Qα>Pα>0)。

类似于文献 [12]中的定理2.1和2.2,有如下的结论。

定理1 若矩阵X是非线性矩阵方程(1)的Hermitian正定解,则

(2)

证明:由于X是矩阵方程(1)的Hermitian正定解,则有

Xm-Q=A*X-sA+B*X-tB>0

(3)

因此,

Xm=Q+A*X-sA+B*X-tB

定理得证。

定理2 非线性矩阵方程(1) 存在Hermitian正定解当且仅当矩阵A,B能分解为

(4)

证明:令X是矩阵方程(1) 的Hermitian正定解,则存在非奇异的矩阵U使得X=U*U。从而, (1) 可以写成

(5)

(6)

由式(6),有

(7)

反之,若矩阵A,B有如式(4) 的分解且W是列正交的,则式(6) 成立。令X=U*U,则X是Hermitian正定阵且有

Xm-A*X-sA-B*X-tB=Q。

因此,可得X是矩阵方程(1) 的Hermitian正定解。定理得证。

2 迭代算法及其收敛性

(8)

定理3 若存在正的实数α>1使得

(9)

证明 对于X1,一方面从算法(8) 和引理1,有

即X1>X0。

(10)

根据引理1,算法(8) 和式(10),可得

即X2>X0。 又由关系式X1>X0,有

(11)

进而有

即X2X2。 因而,X0

引理2[14]若X>aI且Y>aI,则‖Xδ-Yδ‖≤δaδ-1‖X-Y‖,其中δ∈(0,1]。

定理4 若Q≥I且存在正的实数α>1使得

证明：根据算法(8),有

(12)

(13)

结合式(12) 和式(13),可得

(14)

q‖X2k-1-X2k‖。

定理得证。

由定理3和定理4,可得如下结论。

3 数值实验

本节将给出一些算例来验证不动点迭代算法(8) 用来求解非线性矩阵方程(1) 的有效性。所有的实验都是在如下环境中实现的:CPU-2.13GHz(Intel(R)Core(TM)i3),RAM-2GB,Windows7 系统,MatlabR2011b。

记λ(X)为矩阵X的谱集,且

ε1(k)=‖Xk+1-Xk‖,

例1 考虑非线性矩阵方程(1),其中

对于例1,利用算法(8),迭代13次可得

且 λ(X13)={1.6721,3.6853,10.1426}。

关于例1实验结果见表1。

表1 例1的数值结果

对于例2,利用算法(8),迭代9次可得

且 λ(X9)={1.1052,2.6995,5.1953}。

关于例2实验结果见表2。

表2 例2的数值结果

例3 考虑非线性矩阵方程(1),其中

对于例3,利用算法(8),迭代5次可得

且λ(X5)={2.2315,2.8000,6.9685}。

关于例3实验结果见表3。

表3 例3的数值结果

通过上述三个例子,可以看出不动点迭代算法(8) 能够有效地求解非线性矩阵方程(1) 的Hermitian 正定解。

[1]Engwerda J C.On the existence of a positive definite solution of the matrix equationX+ATX-1A=I[J].Linear Algebra and its Applications,1993,194:91-108.

[2]Zhan X Z.Computing the extremal positive definite solutions of a matrix equation[J].SIAM Journal on Scientific Computing,1996,17(5):1167-1174.

[3]Engwerda J C,Ran A C M,Rijkeboer A L.Necessary and sufficient conditions for the existence of a positive definite solution of the matrix equationX+A*X-1A=Q[J].Linear Algebra and its Applications,1993,186:255-275.

[4]Ivanov I,El-Sayed S M.Properties of positive definite solutions of the equationX+A*X-2A=I[J].Linear Algebra and its Applications,1998,279:303-316.

[5]Zhang Y H.On Hermitian positive definite solutions of matrix equationX+A*X-2A=I[J].Linear Algebra and its Applications,2003,372:295-304.

[6]Hasanov V I.Positive definite solutions of the matrix equationsX±A*X-qA=Q[J].Linear Algebra and its Applications,2005,404:166-182.

[7]El-Sayed S M,Al-Dbiban A M.On positive definite solutions of the nonlinear matrix equationX+A*XnA=I[J].Applied Mathematics and Computation,2004,151(2):533-541.

[8]Liu X G,Gao H.On the positive definite solutions of the matrix equationsXs±ATX-tA=In[J].Linear Algebra and its Applications,2003,368:83-97.

[9]Du S,Hou J.Positive definite solutions of operator equationsXm+A*X-nA=I[J].Linear and Multilinear Algebra,2003,51(2):163-173.

[10]Duan X F,Liao A P.On the existence of Hermitian positive definite solutions of the matrix equationXs+A*X-tA=Q[J].Linear Algebra and its Applications,2008,429(4):673-687.

[11]Liu A J,Chen G L.On the Hermitian positive definite solutions of nonlinear matrix equationXs+A*X-t1A+B*X-t2B=Q[J].Mathematical Problems in Engineering,2011,ID 163585,18 pages.

[12]Al-Dubiban A M,El-Sayed S M.On the positive definite solutions of the nonlinear matrix equationX-A*X-sA-B*X-tB=I[J]. 2012,ID:cna-00116,8 pages.

[13]Long J H,Hu X Y,Zhang L.On the Hermitian positivedefnite solution of the nonlinear matrix equationX+A*X-1A+B*X-1B=I[J].Bulletin of the Brazilian Mathematical Society,New Series,2008,39(3):371-386.

[14]Bhatia R.Matrix Analysis,Graduate Texts in Mathematics[M].New York：Springer Verlag,1997.

[15]王进芳,张玉海,朱本仁.矩阵方程X+A*X-qA=I(q>0)的Hermite 正定解 [J].计算数学,2004,26(1):61-72.

[16]廖安平.矩阵方程X+A*X-nA=I的正定解[J].高等学校计算数学学报,2004,26(2):156-161.

[17]李静,张玉海.矩阵方程X+A*X-1A=Q的Hermite 正定解及其扰动分析 [J].计算数学,2008,30(2):129-142.

[18]Cai J.On the Hermitian Positive Definite Solutions of the Nonlinear Matrix EquationXs-A*X-tA=Qwith Perturbation Estimates [J].Journal of Mathematical Research with Applications,2013,33(6):673-682.

The Hermitian positive definite solutions of the nonlinear matrix equationXm-A*X-sA-B*X-tB=Q

MA Changfeng,KE Yifen

(School of Mathematics and Computer Science & FJKLMAA,Fujian Normal University,Fuzhou 350117，China)

In this paper,the Hermitian positive definite solutions of the nonlinear matrix equationXm-A*X-sA-B*X-tB=Qare studied,where Q is a Hermitian positive definite matrix,m∈[1,+) ands,t∈(0,1].The necessary and sufficient conditions for the existence of the Hermitian positive definite solutions are derived and the convergence of the proposed iteration method is analyzed.Numerical results demonstrate the efficiency of the proposed iteration method.

matrix equation; Hermitian positive definite solution; iteration method; convergence condition

1672-7010(2016)03-0005-05

2016-04-22

国家自然科学基金资助项目(11071041)；福建省自然科学基金项目(2016J01005)

马昌凤(1962-)，男，湖南隆回人，博士，教授，博士生导师，从事偏微分方程数值解与数值代数及其应用研究

O241.7

A