带电粒子在匀强磁场作匀速圆周运动的求解策略

2016-12-16郭文教

数理化解题研究 2016年28期

关键词：强磁场带电粒子圆心

郭文教●

金华汤溪高级中学(321075)

带电粒子在匀强磁场作匀速圆周运动的求解策略

郭文教●

金华汤溪高级中学(321075)

策略一充分利用平面几何中圆的有关知识找圆心

带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动往往需画出示意图，找几何关系，而找出圆心是解决此类问题的前提.利用圆的知识找圆心通常有以下几种方法.

1.在已知粒子运动轨迹上的两点速度方向的情况下找圆心.方法是：画出粒子轨迹上两点(一般是射入和射出磁场的两点)洛伦兹力的方向(与速度方向垂直)，洛伦兹力延长线的交点即为圆心.

2.在已知粒子运动轨迹的两点和其中一点的速度方向的情况下找圆心.方法是：画出轨迹上两点间的连线(即过这两点圆弧的弦)做它的中垂线，画出已知点速度v的垂线，中垂线与速度垂线的交点即为圆心.

3.在已知粒子轨迹上两点和能够求得半径R值的情况下找圆心.方法是：连接粒子轨迹上的两点，并做连线的中垂线，连线端点到中垂线距离为半径R的点即为圆心.

4.在已知带电粒子入射方向和出射方向，且能够求得粒子轨迹半径R，但不知粒子轨迹的情况下找圆心.方法是：延长粒子两速度方向的直线，做直线所成夹角的角平分线，从角平分线到两直线的垂直距离等于半径R的点即为圆心.

例1 如图1所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图1中第一象限所示的区域.为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场.若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径.重力忽略不计.

根据题意，质点在磁场区域中的轨道是半径等于R的圆上的1/4圆周，这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切.如图2所示，过a点作平行于x轴的直线，过b点作平行于y轴的直线，则与这两直线均相距R的O′点就是圆周的圆心.质点在磁场区域中的轨道就是以O′为圆心、R为半径的圆(图中虚线圆)上的圆弧MN，M点和N点应在所求圆形磁场区域的边界上.

在通过M、N两点的不同的圆周中，最小的一个是以MN连线为直径的圆周.所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径为：

策略二充分利用示意图中的几何关系找半径

在找到圆心后，建议大家在解题时可不管三七二十一先在草稿纸上画一个完整的圆，然后分析原题中入射粒子的洛伦磁力，确定粒子的运动轨迹朝哪边弯(顺时针还是逆时针)，再将其与我们画好的圆相对照，根据题目的意思看题中的轨迹是落在这个完整圆中的哪一部分，逐渐完善.等画好示意图后，能否充分利用好示意图中的几何关系，找到半径的表达式是解决问题的关键.

例2 电量为q、质量为m的带正电粒子在XOY平面内沿着Y=a的直线以速度v经Y轴上的P点射入XOY平面的第一象限.要求在第一象限内设置磁感应强度为B的一个圆形区域，使带电粒子发生偏转，最后经X轴上的M点(XM=2a)射出，且偏转角θ=60°，如图3所示.试求能达到此目的的最小圆形磁场区域的半径(粒子的重力不计).

解析依题意，磁场的方向垂直纸面向外.由于带电粒子的速度和磁场都是确定的，所以带电粒子作圆周运动的半径r=mv/qB也是确定的.将X轴和Y轴上的两个速度矢量(或反向)延长，与X、Y轴组成一个梯形，再画一个半径确定的圆(轨迹)，并将此圆移至坐

标中与两速度矢量相切(如图5所示)，过两切点作轨迹圆的弦，则最小圆形磁场的区域的圆直径就是此弦的长度.弦的长度AB可根据几何关系求得，如图4所示，过两速度的矢量与圆轨迹的切点A、B各作两条垂线AO、BO相交于O点，则∠AOB=θ= 60°，过O作弦AB的垂线OD，则∠DOB=θ/2=30°， ∴弦AB=2rsin30°=r，故能达到此目的的最小圆形磁场区域的半径R=r/2=mv/2qB.

策略四利用粒子速度的偏向角等于粒子转过的圆心角找α，偏向角就是指粒子在某一时刻的速度与原来速度之间转过的角度，如图6所示，速度的偏向角φ等于AB所对的圆心角α，并与时间成正比，即φ=α=ωt.

例3 如图4所示，三个同样的带电粒子，分别以速度v1，v2，v3沿水平方向从同一匀强磁场中，离开磁场时它们与水平边界线的夹角依次为α1=90°，α2=60°，α3=30°.若依次以t1，t2和t3表示每个粒子在磁场中的运动时间，下列哪些说法正确？

A.t1最长，t3最短 B.t1最短，t3最长

C.t1=t2=t3D.t1=t2t3

策略五、充分利用圆的对称性，圆有多种对称性，解题时若能充分利用对称性，可以加速解题的进程.

例4 如图8所示，在内部半径为r的绝缘细筒中，有平行于圆筒轴线方向的匀强磁场，筒内为真空环境，一个质量为m，电量为+q的粒子，自筒壁A处的小孔以速度v沿筒半径方向垂直于磁场射入筒中，粒子在筒内空间运动时只受洛伦兹力作用，而且粒子在与筒壁碰撞时无机械能损失，并保持原有电量，如果粒子在筒内与筒壁相继碰撞若干次运行一周后恰好仍从A孔射出，筒内磁感应强度B必须满足什么条件？所需时间t是多少？