刍议高中数学中几何证明题的解题技巧

唐家泰●

湖南省长沙市第一中学(410000)



刍议高中数学中几何证明题的解题技巧

唐家泰●

湖南省长沙市第一中学(410000)

几何证明题是高中数学中的重点和难点，也是高考考试中出现频率很高的一种题型，它主要考查了同学们的逻辑思维能力和分析解决问题的能力.在解决几何证明题的过程中，通过采取适当的解题技巧，可达到事半功倍的效果.本文根据几个证明题实例分析了几何问题的几个解决方法，同学们可以参考这些解题技巧，灵活运用，提高自身的数学成绩.

高中数学；几何证明题；解题技巧

几何证明题在我们的高中数学学习中占很大一部分，同学们在解题时，经常出现以下几个问题.首先，当我们看到这类题会存在畏惧心理，潜意识感觉题目较难，不易解答；其次，同学们经常对几何问题中的概念或定义理解不深或认识不全，在解题过程中容易出现偏差；再者，平时对这类题目的训练较少，运算能力差，导致解题过程出现差错；另外，解决几何问题时，向量也是一个不错的选择，一味采用普通解题方法导致解题过程繁杂，错误频出；最后是对几何证明题的数学思想方法理解不足，灵活性欠缺，题目经稍加变形或与其它题型综合后，便不能较好地解答.下面我总结了几个高中数学中几何证明题的解题技巧，希望能给同学们带来新的思路或解题方法.

1.添加辅助线或辅助图形

解析几何证明类题目，通常只有题干，没有配图，有些即使配有图，但表现不明确，这就需要同学们自己经过对题干的分析，画出相应几何图形，并根据条件添加适当辅助线或辅助图形，方便题目解答.

例1 设有一个三棱锥，D点为顶点，底面为三角形△ABC，三条棱DA，DB，DC两两互相垂直，P是底面△ABC内的一点，若DP与面DBC和面DAB所成的角分别是 30°和45°，求PD与平面DAC所成角的正弦值.

解析 以DP为对角线，DA，DB，DC所在直线为三条边，构建一个长方体.则该问题就特殊化了：求长方体对角线DP与侧面DAC的夹角的正弦值.

设DP与面DBC、面DAB、面DAC的夹角分别为α、β、γ，则sin2α+sin2β+sin2γ=1. 已知条件α=30°，β=45°则sin2γ=1-(sin2α+sin2β)=1/4,所以sinγ=1/2.

2.以结论推条件

在解题过程中，可预先对结论进行假设，把假设的结论作为条件，反过来推导与题干相关的结论，经过对比明确假定结论的正确性，该方法可实现解决问题的明确性.

解析 (1) 证明sinα+sin2β=0，即是证明sinα=-sin2β；等式两边为不同的三角函数，可先假设两者相等，经过三角函数变换得到cos(π/2-α)=cos(π-2β)，即需要证明π/2-α=π-2β.这一点经绘图后可明显看出.

3.采用数形结合

数形结合的定义就是把题干中所给出条件的数字与具体图形一一对应起来，用直观且简单的几何图形把复杂且抽象的数量关系、语言及位置关系直观地表示出来，通过抽象与想象思维之间的结合，以数解形来使得复杂的问题变得简单；抽象的问题变得具体，成功的优化解决问题的途径.

在进行数形结合处理问题时，要理清以下要素，首先要确定题目中所给的函数式具有明显的几何意义，能够通过图形表示出函数所表达的范围；确定以三角函数、向量及复数等在几何条件背景中成功建立的条件；明确图形与函数、数轴与实点、曲线与方程等的具体对应关系.

4.分析题干信息，提取必要条件

高中数学考查的不只是同学们对知识点的掌握程度，还在一定程度上对同学们的细心程度进行检验.在解题时，要对题干中的一些干扰条件进行区分，明确对结论有帮助的条件，在此基础上进行题目解析，可有效地提高解题效率.“实践是检验真理的唯一标准”，以上介绍的也只是解题技巧，同学们可以轻松地记忆和理解这些解题技巧，但要将这些技巧成功地运用到解题过程中，需要我们进行大量的题型训练，采用一题多练、一题多解等等方法不断重复练习该类几何证明题.并在此基础上做好错题分析与归纳整理，实现解题过程中质量的提升.

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