一道高考圆锥曲线试题的推广及拓展

黄旭东●

湖北省黄石市第一中学(435000)



一道高考圆锥曲线试题的推广及拓展

黄旭东●

湖北省黄石市第一中学(435000)

一、试题还原与分析

(Ⅰ)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(Ⅱ)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．

二、推广与拓展

由于椭圆有四个顶点，若点P为长轴上一顶点，是否有类似结论呢？经推证，猜想成立.于是纵向推广得到如下定理2.

同为有心曲线，此结论在双曲线上是否成立呢？能否横向推广？经推证，结论成立，同时得到一个意外的结论，即得定理3.

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经验证，若将P改为虚轴端点，结论不成立.通过上述推广与拓展，得到了一些优美而有趣的结论，从而从侧面论证了数学也是一种讲究美的学科，这正是数学所具有的独特的魅力所在！

G632

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1008-0333(2016)28-0023-02